已知函数f(x)=2^x+2^-x.

已知函数f(x)=2^x+2^-x.

(1).用函数单调性定义及指数函数性质证明：f(x)是区间（0，正无穷大）上的增函数？？

（2）若f(x)=5*2^-x+3,求x的值？？？？？？？

f(x)=2^x+2^-x.

0<x1<x2 f(x2)-f(x1)= 2^x2+2^-x2-2^x1-2^-x1 =2^x2-2^x1+(2^x1-2^x2)/(2^x1*2^x2)=(2^x2-2^x1)(1-1/(2^x1*2^x2))

2^x是增函数，所以2^x2-2^x1>0, 当x1+x2>0时 2^x1*2^x2=2^(x1+x2) >1

所以1-1/(2^x1*2^x2)>0

f(x2)-f(x1)>0 f(x)是增函数

(1)对于1这个问题，首先可以设2^x=t,可以知道t满足1. t>0; 2, t在（0，正无穷大）上单调递增。

f(x)可以表示为f(x)=g(t)=t+1/t；对g(t)求导，为1-1/t^2,t>1时递增，0<t<1是递减。利用复合函数性质，f（x）在0<x<1时，单调递减；在t>1时单调递增。

（2）由题意有f(x)=2^x+2^-x;f(x)=5*2^-x+3;既是5*2^-x+3=2^x+2^-x。简化5/t+3=t+1/t.求解一元二次方程，解出t=2^x=4(-1自然舍去)，进而x=2.

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