数学竞赛卷子]!!!

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(2)

本题可以转换为BC+CD+AD最小时的比值m/n
将B沿着Y轴映射到右边B'(4,5)
将A沿着X轴映射到下边A'(-8,-3)
BC+CD+AD=B'C+CD+A'D
当B'C+CD+A'D最小时,A' D C B'在一条直线上
所以A'B'这条直线的斜率等于CD直线的斜率
所以m/n=-3/2,

(3)作P关于OA的像P1 关于OB的像P2
则PQ+QR+RP<=P1Q+QR+RP2<=P1P2 当P1 Q R P2共线时取等号
而OP1=OP2=OP=10
角P1OP2=2角AOB=90
所以P1P2=10根号2
△PQR周长的最小值为10根号2

(8)正方形ABCD中，M为AD的中点，以M为顶点作角BMN=角MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC
延长MN交BC的延长线于Q点,可得QM=QB,设变长为2,
求出BM=根号5,tan∠QBM=2,所以BQ=2.5,所以CQ=0.5
相似三角形得:DN/CN=MD/CQ=2,即DN=2NC

(9)∵△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AM于P，
∴△MCA～△MPC
∴MC^2=MP*MA （比例式转来或射影定理）
∵MC=MB，
∴MB^2=MP*MA，
∴△ABM～△BPM，
∴∠ABM=∠BPM 。

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