鬼谷子有两个徒弟。一个叫孙膑，一个叫庞涓。庞涓出山的时候，孙膑和

鬼谷子有两个徒弟。一个叫孙膑，一个叫庞涓。庞涓出山的时候，孙膑和庞涓觉得自己俩人这么大了还没给自己的师父过个生日，于是合计给鬼谷子过生日。结果两人突然发现自己根本不知道老师的生日，于是就去问老师，然后鬼谷子呵呵一笑，给两人出了一道题，说是回答上来他就告诉生日。鬼谷子从二到九十九选择了两个数，将和告诉了庞涓，将积告诉了孙膑。次日，庞涓见到孙膑，傲慢的说道，‘虽说我不知道这俩数，但是你肯定不知道。’孙膑翻了翻白眼，‘之前我不知道，但你一张口我知道了。’庞涓脸色一黑，心下数算，很快也说‘我也知道了。’孙膑耸了耸肩，‘我可以给老师过生日了’。于是孙膑愉快的去给鬼谷子过生日了。”

庞涓能确定孙膑肯定不知道这两个数,可以有这样几个推论.
　　(A)庞涓手上的数字是5-197之间的数字.
　　(B)庞涓的和数一定不能拆成两个质数之和,否则就不会有确信.这可以分解为两点：
　　庞涓手上不是偶数,只可能是奇数,因为任意大于4偶数能被拆成两个奇质数之和,这是由歌德巴赫猜想来保证；
　　并且庞涓手上的奇数不是2+质数.举例：如果庞涓手上是28,可以拆成11+17,当孙膑拿到了181这个积,
　　马上就可以猜出鬼谷子给他的两个数是11和17,与庞涓肯定孙膑不知道这两个数相矛盾,因此将所有偶数排除.
　　举例：当庞涓手上的数为质数+2时,例如21,而正好是19+2,那样孙膑手上的数是38,只有一种分解方法2*19,
　　因此孙膑同样一开始就能确定这两个数字.
　　(C)庞涓的和数一定不是大于53的奇数.因为大于53的奇数始终能够拆成偶数和53（是质数）的乘积,
　　这个乘积只能唯一的推断出53和该偶数的乘积,否则就要大于99了.另外97是质数,
　　同理应该排除97+2到97+98的所有奇数.最后剩下的是99+98的奇数,因为都是最大的数,
　　孙膑本来就可以推理出来,与孙膑本来不知道的前提相矛盾,自然排除了.
　　因此由此可以排除超过53以上的所有奇数.举例：如果庞涓手上的数字是59,那有一种可能是53+6,
　　当孙膑拿到318时也只有一种分解方式是53*6,因为106*3和159*2中的106和159都大于了99这个最大的数字,
　　因此这与孙膑事先不能肯定相矛盾.同理可以推理到195=97+98这中间的所有奇数都被排除,因为97是质数.
　　因此,当庞涓手上是53以上的奇数不会有这种把握孙膑肯定不知道这两个数.
　　(D)满足以上条件的这样的数字仅有10个：11,17,23,27,29,35,37,47,51,53.
　　2、孙膑知道自己手中的积,并说本来不知道,但现在知道了.意味着,
　　孙膑看了自己手上的积后分解因式对应的所有组合的和,只可能是上述10个数中的一个.
　　也就是10个和数拆开的乘积不于其他和数拆开乘积重合的才可能是孙膑的积.
　　这种积有许多种,关键是庞涓的第三句话.
　　3、庞涓是知道自己手中的和数,当孙膑说了这句话的时候,庞涓说也知道这两个数字了,
　　那庞涓手上的和数有一个特点,就是除一个例外的可能积,其他可能的积都无法满足前面所言,
　　否则庞涓没有这种自信.也就是在10个和数中找出积的数组合中只有唯一一对数可以满足前面的条件.
　　这时需要结合第二个条件,怎么利用这个条件呢?以17做为例子：
　　假设分解为3+14,那么积为52,而42=3*14=2*21=6*7,对应的和有17,23,13
　　而当中的17和23均为候选解,也就是说假如孙膑手上的数是42,他就无法知道正确的分解,
　　所以17不能分解为3+14.类似地可以构造以下这个可以满足第二条件的分解列表：
　　11的可能的分(4,7),(3,8),(2,9),
　　17的可能的分(4,13),
　　23的可能的分(10,13),(7,16),(4,19),
　　27的可能的分(13,14),(11,16),(10,17),(9,18),(8,19),(7,20),(5,22),(4,23),(2,25),
　　29的可能的分(13,16),(12,17),(11,18),(10,19),(8,21),(7,22),(6,23),(4,25),(2,27),
　　35的可能的分(17,18),(16,19),(14,21),(12,23),(10,25),(9,26),(8,27),(6,29),(4,31),(3,32),
　　37的可能的分(17,20),(16,21),(10,27),(9,28),(8,29),(6,31),(5,32),
　　41的可能的分(19,22),(18,23),(17,24),(16,25),(15,26),(14,27),(13,28),(12,29),(10,31),
　　(9,32),(7,34),(4,37),(3,38),
　　47的可能的分(23,24),(22,25),(20,27),(19,28),(18,29),(17,30),(16,31),(15,32),(13,34),
　　(10,37),(7,40),(6,41),(4,43),
　　53的可能的分(26,27),(25,28),(24,29),(23,30),(22,31),(21,32),(20,33),(19,34),(18,35),
　　(17,36),(16,37),(15,38),(13,40),(12,41),(10,43),(8,45),(6,47),(5,48),
　　当中只有17有唯一可行

孙庞猜数的手算推理解法: 　　1)按照庞的第一句话的后半部分，我们肯定庞知道的和s肯定不会大于54。 　　因为如果和54＜s＜54+99，那么s可以写为s=53+a，a＜=99。如果鬼谷子选

的两个数字恰好是53和a，那么孙知道的积m就是m=53× a，于是孙知道，这原

来两个数中至少有一个含有53这个因子，因为53是个素数。可是小于100，又有

53这个因子的，只能是 53本身，所以孙就可以只凭这个积53×a推断出这两个

数术53和a。所以如果庞知道的 s大于54的话，他就不敢排除两个数是53和a这

种可能，也就不敢贸然说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。 　　如果53+99＜s＜=97+99，那么s可以写为s=97+a，同以上推理，也不可能。 　　如果s=98+99，那么庞可以立刻判断出，这两个数只能是98和99，而且m只

能是98×99， 　　孙也可以知道这两个术，所以显然不可能。 　　2)按照庞的第一句话的后半部分，我们还可以肯定庞知道的和s不可以表示

为两个素数的和。 　　否则的话，如果鬼谷子选的两个数字恰好就是这两个素数，那么孙知道积m

后，就可以得到唯一的素因子分解，判断出结果。于是庞 还是不敢说“但是我

肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。 　　根据哥德巴赫猜想，任何大于4的偶数都可以表示为两个素数之和，对54以

下的偶数，猜想肯定被验证过，所以s一定不能是偶数。 　　另外型为s=2+p的奇数，其中p是奇素数的那些s也同样要排除掉。 　　还有s=51也要排除掉，因为51=17+2×17。如果鬼谷子选的是(17,2×17)，

那么孙知道的将是m=2×17×17，他对鬼谷子原来的两数的猜想只能是(17,2×

17)。（为什么51要单独拿出来，要看下面的推理） 　　3)于是我们得到s必须在以下数中： 　　11 17 23 27 29 35 37 41 47 53

　　另外一方面，只要庞的s在上面这些数中，他就可以说“但是我肯定你也不

知道这两个数是什么”，因为这些数无论怎么拆成两数和，都至少有一个数是

合数（必是一偶一奇，如果偶的那个大于2，它就是合数，如果偶的那个等于2

，我们上面的步骤已经保证奇的那个是合数），也就是s只能拆成a) s=2+a×b

　或　b) s=a+2^n×b这两个样子，其中a和b都是奇数，n>=1。那么（下面我说

的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在（也就是那些数都小于

100）的理由我就不写了，根据条件很显然） 　　a)或者孙的m=2×a×b，孙就会在(2×a,b)和(2,a×b)至少两组数里拿不定

主意（a和b都是奇数，所以这两组数一定不同）； 　　b)或者m=2^n×a×b， 　　如果n>1，那么孙就会在(2^(n-1)×a,2×b)和(2^n×a,b)至少两组数里拿

不定主意； 　　如果n=1，而且a不等于b，那么孙就会在(2×a,b)和(2b,a)至少两组数里拿

不定主　　意； 　　如果n=1，而且a等于b，这意味着s=a+2×a=3a，所以s一定是3的倍数，我

们只要 　　讨论s=27就可以了。27如果被拆成了s=9+18，那么孙拿到的m=9×18，他就

会在 　　(9，18)和(27,6)至少两组数里拿不定主意。 　　（上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的

论证是否 　　过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么

烦） 现在我们知道，当且仅当庞得到的和数s在 c={11, 17, 23, 27, 29, 35,

37, 41, 47, 53} 中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我

肯定你也不知道这两个数是什么”这句话　　孙膑可以和我们得到同样的结论

，他还比我们多知道那个m。 　　4)孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把m分解成素因子后，

然后组合成关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中，有且 仅有一个猜想的和在

c中。否则的话，他还是会在多个猜想之间拿不定主意。 　　庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个s。 　　5)庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把s拆成两数和后

，也得到了关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想，但是在 所有这些拆法中，只

有一种满足4)里的条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得孙膑推断出那

两个数来。 　　于是我们可以排除掉c中那些可以用两种方法表示为s=2^n+p的s，其中n＞1

，p为素数。因为如果s=2^n1+p1=2^n2+p2，无论是 (2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这

两种情况，孙膑都可以由m=2^n1×p1或m=2^n2×p2来断定出正确的结果，因为

由m得到的各种两数组合，只有 (2^n,p)这样的组合，两数和才是奇数，从而在

c中，于是孙膑就可以宣布自己知道了是怎么回事，可庞涓却还得为(2^n1,p1)

还是(2^n2, p2)这 两种情况犯愁。 　　因为11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，

37=8+29=32+5，47=4+43=16+31。于是s的可能值只能在17 29 41 53中。让我们

继续缩小这个表。 　　29不可能，因为29=2+27=4+25。无论是(2,27)和(4,25)，孙膑都可以正确

判断出来： 　　a)如果是(2,27)，m=2×27=2×3×3×3，那么孙可以猜的组合是(2,27)

(3,18)(6,9)， 　　后面两种对应的s为21和15，都不在c中，故不可能，于是只能是(2,27)。 　　b)如果是(4,25)，m=4×25=2×2×5×5，那么孙可以猜的组合是(2,50)

(4,25)(5,20) 　　(10,10)。只有(4,25)的s才在c中。 　　可是庞涓却要为孙膑的m到底是2×27还是4×25苦恼。 　　41不可能，因为41=4+37=10+31。后面推理略。 　　53不可能，因为53=6+47=16+37。后面推理略。 　　研究一下17。这下我们得考虑所有17的两数和拆法： 　　(2,15)：那么m=2×15=2×3×5=6×5，而6+5=11也在c中，所以一定不是这

个m，否则4)的条件不能满足，孙“我现在能够确定这两 个数字了”的话说不

出来。 　　(3,14)：那么m=3×14=2×3×7=2×21，而2+21=23也在c中。后面推理略。 　　(4,13)：那么m=4×13=2×2×13。那么孙可以猜的组合是(2,26)(4,13)，

只有(4,13)的和在c中，所以这种情况孙膑可以说4)中的话。 　　(5,12)：那么m=5×12=2×2×3×5=3×20，而3+20=23也在c中。后面推理

略。 　　(6,11)：那么m=6×11=2×3×11=2×33，而2+33=35也在c中。后面推理略

。 　　(7,10)：那么m=7×10=2×5×7=2×35，而2+35=37也在c中。后面推理略。 　　(8,9)：那么m=8×9=2×2×2×3×3=3×24，而3+24=27也在c中。后面推理

略。

　　于是在s=17时，只有(4,13)这种情况，孙膑才可以猜出那两数是什么，既

然如此，庞涓就知道这两个数是什么，说出“我现 在也知道这两个数字是什么

了”。听了庞涓的话，于是我们也知道，这两数该是(4,13)。

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