已知正三棱锥的底面边长和高都为a。 求侧面与侧面所成德二面角的大小。

已知正三棱锥的底面边长和高都为a。 求侧面与侧面所成德二面角的大小。

设正三棱锥S-ABC，在三角形SAB上作BM⊥SA，交SA于M，连结CM，三个侧面三角形全等，△SAB≌△SAC，<BAM=<CAM,AM=AQM,AB=AC, △ABM≌△ACM,<CMA=<BMA=90°，<CMB是二侧面所成二面角的平面角，设SH为高，H为正三角形ABC的内（外）心，连结AH延长至BC于D，则AD是BC边上的高，也是< CAB的平分线，连结SD，AH=2AD/3=2a√3/2/3= a√3/3,
SA=√(SH^2+AH^2)=2 a√3/3,DH=AD/3=a√3/2/3= a√3/6，SD=√（DH^2+SH^2）=a√39/6,BM*SA=SD*AC,
BM= a√39/6 *a/(2 a√3/3)= a√13/4,MC=MB
在三角形BMC中根据余弦定理，BC^2=MC^2+MB^2-2*MC*MB*cos<BMC
cos<BMC=5/13,<BMC=arccos(5/13), 二侧面所成二面角是arccos(5/13)。
VS-ABC=S△ABC*AH/3= √3/12a^3,设A至平面SBC距离为h,
S△SBC=SD*BC/2= (a√39/6)*a/2= a^2√39/12,VA-SBC= S△SBC*h/3=ha^2√39/36, VS-ABC=VA-SBC, (√3/12)a^3=ha^2(√39/36),h=a√39/12,从A向平面SBC作垂线AH1，交平面SBC于H1，AH1=h,连结BH1，则<ABH1是底面棱AB与侧面SBC的成角，sin<ABH1=AH1/AB=a√39/12/a=√39/12,
<ABH1=arcsin(√39/12),
底面的棱与侧面所成的角的大小为arcsin(√39/12)

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息