已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．（I）当a≤0时，求f（x）的单调区间（Ⅱ）若不等式g(x)＜x?mx有解，

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．
（I）当a≤0时，求f（x）的单调区间
（Ⅱ）若不等式g(x)＜
x?m




x 有解，求实数m的取值菹围；
（Ⅲ）证明：当a=0时，|f（x）-g（x）|＞2．

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=（ax+lnx）′=a+
1
x ，
①当a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为单调递增函数；
②当a＜0时，f′（x）=0，得x=-
1
a ，当x∈（0，-
1
a ）时，f′（x）＞0；当x∈（-
1
a ，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，-
1
a ）为单调递增函数；在（-
1
a ，+∞）为单调递减函数；
（II）由题意，不等式g（x）＜
x?m




x 有解，即ex



x ＜x-m有解，
因此只须m＜x-ex



x ，x∈（0，+∞），
设h（x）=x-ex



x ，x∈（0，+∞），h′（x）=1-ex（



x +
1
2



x ），
因为



x +
1
2



x ≥2




1
2 =



2 ＞1，且ex＞1，∴1-ex（



x +
1
2



x ）＜0，
故h（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴h（x）＜h（0）=0，故m＜0．
（III）当a=0时，f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），
|f（x）-g（x）|=|lnx-ex|=ex-lnx=ex-x-（lnx-x），
设m（x）=ex-x，x∈（0，+∞），
因为m′（x）=ex-1＞0，m（x）在（0，+∞）上是增函数，m（x）＞m（0）=1，
又设n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），
因为n′（x）=
1
x -1，当x∈（0，1）时，n′（x）＞0，n（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0，n（x）在（1．+∞）上是减函数，
∴当x=1时，n（x）取得极大值，即n（x）≤n（1）=-1，
故|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2．

（ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=（ax+lnx）′=a+ 1 x ①当a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为单调递增函数； ②当a＜0时，f′（x）=0，得x=- 1 a ，当x∈（0，- 1 a ）时，f′（x）＞0；当x∈（- 1 a ，+∞）时，f′（x）＜0； ∴f（x）在（0，- 1 a ）为单调递增函数；在（- 1 a ，+∞）为单调递减函数； （ii）由题意，不等式g(x)＜ x?m x 有解，即ex x ＜x-m有解， 因此只须m＜x-ex x ，x∈（0，+∞）， 设h（x）=x-ex x ，x∈（0，+∞），h′（x）=1-ex（ x + 1 2 x ）， 因为 本回答由提问者推荐 评论

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