一道线性代数题

3阶矩阵A第2列是（1，1，1）转置，它的特征值为2，1，-1，Aij为第i行j列元素的代数余子式，求：A11*A23-A21*A13

请给出过程，感谢

记对A取行列式|A|，由于A的特征值为2，1，-1，从而A的行列式值为|A|=2*1*(-1)=-2；

为以下描述方便，记A的一般元素为aij，i=1,2,3，j=1,2,3；

由于A的第2列元素是（1，1，1），因此a12=a22=a32=1；

按照代数余子式的基本定义可求得如下结果：

A11=a33-a23；A23=a31-a11；A21=a13-a33；A13=a21-a31；

从而

A11*A23-A21*A13=a11*a23+a13*a31+a33*a21-a11*a33-a23*a31-a13*a21；

另一方面，由于|A|=-2，对其按对角线法则展开可得

a11*a33+a23*a31+a13*a21-a13*a31-a21*a33-a11*a23=-2；

比较A11*A23-A21*A13等式右边与|A|的对角线法则展开式可知，二者只差一负号，故

A11*A23-A21*A13=-|A|=2.

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