25道奥数及答案

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解决时间 2021-01-09 12:04

提问者网友：王者佥
2021-01-09 06:07

25道奥数及答案

最佳答案

五星知识达人网友：独钓一江月
2021-01-09 07:34

几年级的？

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1楼网友：怀裏藏嬌
2021-01-09 08:24

练习1.一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数. 答案：1987．
∵2
2
13838B
xAx A2－B2＝176＝2×2×2×2×11 BABA……

练习2. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数. 答案：
证明：设五个连续整数为m－2, m－1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.
那么S＝（m－2）2＋（m－1）2＋m2＋（m+1）2＋（m+2）2
＝5（m2+2）.
∵m2的个位数只能是0，1，4，5，6，9 ∴m2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1 ∴m2+2不能被5整除.
而5（m2+2）能被5整除，
即S能被5整除，但不能被25整除.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.

练习3.一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.
（1990年全国初中数学联赛题）
答案：5。
因为平方数的个位数是
（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1）即个位数为5×8＋5。
练习4.设N = 23 x +92 y 为完全平方数,且N 不超过2392 . 则满足上述条件的一切正整数对( x , y) 共有多少对.
答案：27.

分析:注意到23|92 ,从而,23 x +92 y 含有质因数23.
由此可构造不定方程,进而利用不等式控制( N 不超过2392 ) 求解. 解:因为N = 23 ( x +4 y) ,而23 为质数, 所以,存在正整数k ,使x +4 y =23 2k . 又因为23 ( x +4 y) = N ≤2392 ,所以, x + 4 y ≤104.
故23 2k = x + 4 y ≤104 ,即2k≤4. 于是, 2k = 1 ,4.
当2k = 1 时, x +4 y =23 ,此时, y ≤5 ,可得到5 个解; 当2k = 4 时, x +4 y =92 ,此时, y ≤22 ,
可得到22 个解.
综上所述, 满足条件的一切正整数对( x , y) 共有5+22=27 对.

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