设函数f(x)=(x-1)^2+blnx,证明ln(1/n +1)>(1/n)^2-(1/n)^3

设函数f(x)=(x-1)^2+blnx,证明ln(1/n +1)>(1/n)^2-(1/n)^3

证明：引入函数
g(x)=ln(x+1)-x^2+x^3,x≥0
求导g'(x)=1/(1+x)-2x+3x^2=[3x^3+(x-1)^2]/(x+1)>0
知g(x)在x>0上单调增加,又g(x)可在x=0处连续则
g(x)>g(0)=0,x>0,整理得到
ln(1+x)>x^2-x^3,x>0
我们取1/n(>0)替换上式x得到
ln[(1/n)+1]>1/n^2-1/n^3,命题得证.

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