求围成面积最小，高数

求围成面积最小，高数

对y＝√x求导数,得：y′＝1/（2√x）.
令切点的坐标为P（a,√a）,则切线的斜率＝1/（2√a）,
∴切线的方程是y－√a＝［1/（2√a）］（x－a）,∴y＝x/（2√a）＋√a/2.
显然,y＝√x是抛物线y²＝x在第一象限的部分,∴y＝√x在切线L的下方.
令y＝√x、直线L、x＝0、x＝2所围成的区域面积为S.则：
S＝∫（上限2、下限0）［x/（2√a）＋√a/2－√x］dx
＝［1/（2√a）］∫xdx＋（√a/2）∫dx－∫√xdx
＝［1/（4√a）］x^2｜（上限2、下限0）＋（√a/2）x｜（上限2、下限0）
　－（2/3）x^（3/2）｜（上限2、下限0）
＝1/√a＋√a－（2/3）*2√2.
∴当1/√a＝√a时,S最小,此时,a＝1
∴满足条件的切线L的方程是y＝x/2＋1/2

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