超越数集是不可数集怎么证明？

超越数集是不可数集怎么证明？

先证明实数集不可数。
若实数集可数，则(0，1)可数。
并把(0,1)的数写成二进制数，用自然数对应：
0 0.101101001110011101……
1 0.110011001100110011……
2 0.001100011110001101……
3 0.101101110010011011……
……
但我们可以找到一个实数第一位与数列0中的不同，第二位与数列1中的不同……于是这个实数属于(0，1)，但不在数列上。矛盾，因此(0，1)不可数，即实数集不可数。
再证明代数数可数：
1 整数是可数集。
2 Z×Z×Z×Z×Z……×Z，有限个可数集相乘仍然还是可数集。
3 整系式多项式的项数不超过次数+1项。
结合1，2，3，证明了整系数多项式可数。
然后有整系数多项式的根的个数不超过该整式的次数。而由于可数个可数并集还是可数，因此整系数多项式的根可数。也就是代数数集可数。
证明还不够，既然可数，那应该能与自然数一一对应：
对应法：就是
0,1,-1,1/2,-1/2,√2,-√2,√2+1,-√2-1,-√2+1,√2-1,1/3,-1/3,2/3,-2/3,√3+1,√3-1,-√3+1,-√3-1,√3-√2,√3+√2,√2-√3,-√3-√2……
然而先排完次数，自然数在0以内，接着再排1以内，再排2以内……这样代数数就能与自然数一一对应。
而不可数集减去可数集仍然不可数。
于是超越数集是不可数集。

因为代数数集是可数集，所以超越数集是不可数集。

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