总拉格朗日乘数法求z=2x y在条件x^2 4y^2=17限制下的最大值与最小值

总拉格朗日乘数法求z=2x y在条件x^2 4y^2=17限制下的最大值与最小值

杀鸡不用牛刀，初数问题初数解决:

以待求式代入约束条件得，
x²+4(z-2x)²=17
→17x²-16zx+4z²-17=0.
∴△=(-6z)²-4×17×(4z²-17)≥0
→-17/2≤z≤17/2.
以z=17/2代回原式得x=4，y=1/2;
以z=-17/2代回原式得x=-4，y=-1/2.
∴x=4，y=1/2时，
所求最大值为z|max=17/2;
x=-2，y=-1/2时，
所求最小值为z|min=-17/2。

看到x^2+4y^2≤4首先想到的应该是三角换元啊，而不是用lagrange乘值法 令x=2rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤1，θ∈[0，2π） z=4r^2(cosθ)^2-r^2(sinθ)^2=5r^2(cosθ)^2-r^2 所以当r=1，cosθ=±1时z取到最大值4，此时x=±2，y=0 当r=1，cosθ=0时z取到最小值-1，此时x=0，y=±1

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