函数f(x)=根号1-x+根号x+3的值域是

高人！！

令y=f(x)
则y>=0
y²=1-x+x+3+2√[(1-x)(x+3)]
=4+2√(-x²-2x+3)
=4+2√[-(x+1)²+4]

定义域1-x>=0,x+3>=0
-3<=x<=1
所以x=-1，-(x+1)²+4最大=4
x=-3或1，-(x+1)²+4最小=0
所以y²最大是4+2√4=8，最小是4+2√0=4
所以值域[2,2√2],

1.三角换元 因为-3<=x<=1 令x=1-4sin^2(a) 则y=2sina+2cosa, 因为(sina>=0,cosa>=0),所以0<=a<=90 由辅助角公式： y=2根号2[sin(a+45)] 所以2<=y<=2根号2 2.向量法 设a=(1,1),b=(根号(1-x),根号(x+3)) y=a·b=|a||b|cosa =2根号2cosa 因为b在第一象限，cosa属于(0,45) 即 2<=y<=2根号2 3.判别式法 (y^2-4)^2=-x^2-2x+3 令delta>=0,x在[-3,1]上有解， 可得2<=y<=2根号2

楼上另法有点误差，令x=sint时，是要讨论去绝对值情况的。不是很好。 解：∵f(x)=4x 4√(1－x²)满足1－x²≥0 ∴﹣1≤x≤1 ∴函数定义域为【﹣1，1】 令x=cosθ，θ∈【0，π】 ∴f（x）=4cosθ＋4√（1－cos²θ）=4cosθ＋4√（sin²θ）=4cosθ＋4| sinθ | 又θ∈【0，π】，∴sinθ≥0 ∴f（x）=4cosθ＋4sinθ=4√2sin（θ＋π／4），θ∈【0，π】 ∴θ＋π／4∈【π／4，5π／4】 ∴sin（θ＋π／4）∈【﹣√2／2，1】 ∴﹣4≤4√2sin（θ＋π／4）≤4√2 ∴函数f（x）的值域为【﹣4，4√2】

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