已知数列{An}的前n项和为Sn，a1=1，满足下列条件①?n∈N*，an≠0；②点Pn（an，Sn）在函数f（x）=x2+x2的

已知数列{An}的前n项和为Sn，a1=1，满足下列条件
①?n∈N*，an≠0；
②点Pn（an，Sn）在函数f（x）=
x2+x
2 的图象上；
（Ⅰ）求数列{an}的通项an及前n项和Sn；
（Ⅱ）求证：0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|＜1．

解答：（I）解：由题意Sn＝
an2+an
2 ，
当n≥2时an=Sn-Sn-1=
an2+an
2 ?
an?12+an?1
2 ，
整理，得（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
又?n∈N*，an≠0，所以an+an-1=0或an-an-1-1=0，
当an+an-1=0时，a1=1，
an
an?1 ＝?1，
得an＝(?1)n?1，Sn＝
1?(?1)n
2 ；
当an-an-1-1=0时，a1=1，an-an-1=1，
得an=n，Sn＝
n2+n
2 ．
（II）证明：当an+an-1=0时，Pn((?1)n?1，
1?(?1)n
2 )，
|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=



5 ，所以|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=0，
当an-an-1-1=0时，Pn(n，
n2+n
2 )，
|Pn+1Pn+2|=



1+(n+2)2 ，|PnPn+1|=



1+(n+1)2 ，
|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=



1+(n+2)2 -



1+(n+1)2
=
1+(n+2)2?1?(n+1)2




1+(n+2)2 +



1+(n+1)2
=
2n+3




1+(n+2)2 +



1+(n+1)2 ，
因为



1+(n+2)2 ＞n+2，



1+(n+1)2 ＞n+1，
所以0＜
2n+3




1+(n+2)2 +



1+(n+1)2 ＜1，
综上0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|＜1．

an+1+an-1=2an（n≥2）， a(n+1)-an=an-a(n-1) 所以 an为等差数列 a1=f（1），a2=f（2） f(x)=2x-1 a1=1 a2=3 d=a2-a1=2 所以 an=1+2(n-1)=2n-1 sn=(1+2n-1)n/2=n²

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