假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，并且对[0,1]上任一点x有0<=f(x)<=1.试证明[0,1]中必存在一点c,使得f(c)=c(c称为函数f(x)的不动点)

假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，并且对[0,1]上任一点x有0<=f(x)<=1.试证明[0,1]中必存在一点c,使得f(c)=c(c称为函数f(x)的不动点)

令F(x)=f(x)-x

当 x=0时 F(0)=f(0)-0 因为f(x)>=0 f(0)>=0 即F(0)>=0 若F(0)=0 就是f(0)-0=0 即c=0 否则F(0)>0

当 x=1时 F(1)=f(1)-1 因为f(x)<=1 有f(1)-1<=0 即F(1)<=0 若F(1)=0 即F(1)=f(1)-1 即c=1 否则F(1)<0

当 0<x<1 时 由上可知 F(0)与F(1)异号，故有一点c在(0,1)使得F(C)=0

综上，[0,1]中必存在一点c,使得F(c)=0 即f(c)=c

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