若f（x）=(ax+1)/(x+2)在区间(－2，+∞)上是增函数，则a的取值范围是？求详细解答过

若f（x）=(ax+1)/(x+2)在区间(－2，+∞)上是增函数，则a的取值范围是？求详细解答过程。

可用证明函数单调性的方法:
解：任取x1，x2且-2 则：F(X1)-F(X2)
=(ax1+1)/(x1+2) －(ax2+1)/(x2+2)
＝(2a-1)(x1-x2)/(x1+2)(x2+2)
因为(x1+2)(x2+2)大于0，x1-x2小于0
所以(2a-1)(x1-x2)/(x1+2)(x2+2)小于0
所以2a-1大于0
a大于1/2
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方法一: f(x)=（ax+1）/(x+2) =[a(x+2)-2a+1]/(x+2) =a+(1-2a)/(x+2). 令,y=1/(x+2), 而此函数,在x∈(-2,＋∞)上为减函数, 现要使y=(1-2a)/(x+2),在x∈(-2,＋∞)上为增函数,则须满足(1-2a)<0, a>1/2. 即,函数f(x)=（ax+1）/(x+2)在区间(-2,＋∞)上为增函数,则a的取值范围是:a>1/2. 方法二: 对f(x)求导, f(x)=（ax+1）/(x+2), f'(x)=[(ax+1)'(x+2)-(x+2)'(ax+1)]/(x+2)^2 =(2a-1)/(x+2)^2. 要使f(x)在区间x∈(-2,＋∞)上为增函数,则f'(x)>0, 即,(2a-1)/(x+2)^2>0, (2a-1)>0, a>1/2. 则a的取值范围是:a>1/2.

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