可测方程 1

可测方程 1

追问大大，能不能解释一下这两道题的目的和原因呢？不太理解追答第一题是说之前构造的不可测集E，它的可测子集只能是零测集，否则若有测度大于0的可测子集，那么每一个Eq都有一个这样的子集，并起来测度是无穷，但是并集又是[0,1)的子集，测度不超过1，这就是矛盾。
第二题是测度完备化的方法。测度是完备的，则任意零测集的子集都是可测的。所以将测度完备化的方法就是把零测集的所有子集全放进去生成一个新的sigma代数，将原来的测度扩张到新的sigma代数里就可以了。勒贝格测度在Borel代数上就不是完备的，因为Borel零测集的子集并不一定是Borel集，将其完备化，就得到了勒贝格测度。追问Dp为什么都相等呢？意思是总有一段n到n+1是不可测的吧如果mE=0,任意E的子集E',mE'
这里证明前面一部分是为了方便将集合B放在[0,1)区间内，这样好用之前的不可测集合E。这里证明了至少有一个Eq交B不可测。

如果mE=0,任意E的子集E',mE'
这里将原来的sigma代数进行了扩张，因为零测集有子集不可测，所以这个不可测集并不是原来的sigma代数的元素。因此需要证明这里定义的barB是sigma代数。
直观上，零测集的子集也应该可测而且测度是0，但是原先的测度和sigma代数并不一定可以保证，所以需要将这个测度扩张，就是这里的完备测度或者叫完全测度。追问那为什么新的测度对于以前测度为0的子集的测度等于0
其次这个子集为什么属于新的代数呢第一题，这样想怎么样呢，E不可测，UEi覆盖(0,1)，所以A必定与其Ei相交，但是每个Ei是不可测的，所以子集必定不可测，因为m*A大于0，使得交集的测度不能为0？追答第二题我写的有问题，题目是要证明存在这样的测度。只要定义任意零测集的子集的测度都是0就可以了，然后把这些新的零测集和原来的sigma代数中的集合放在一起去生成一个新的sigma代数就可以了，大致过程还是一样的追问不不不。第二题最最最重要的证明完备。追答不是，是证明存在一个测度满足下面(a)(b)(c)这些性质追问但是第一句话，说明得说明这个是完备的。因为性质想证明的是对于任意一个sigema代数，我们可以找到令一个sigema代数，把之前的零集的子集填进去，而且还是零集。。。但是我一直想不通为什么是完备的追答证明存在一个测度满足下面(a)(b)(c)这些性质，而满足这三个性质的测度就是原测度空间的完备化。

得到的新测度对于任意零测集的子集都是可测的，所以是完备测度。追问大大，能不能解释一下呢？假设E的新测度为零，那么为什么E的子集属于新的代数呢追答定义的，先定义零测集的子集“测度”都是0，然后去证明定义出来的集函数是新的sigma代数上的测度。追问然后根据定义很明显任意零测度子集都是新的代数里面那么这个新的测度如何定义呢？追答把图片的倒数第五行理解成定义就可以了。但是还需要多证明的是如果C=B1并A1=B2并A2，那么有m(B1)=m(B2)才能保证定义的合理性追问唯一性吗？为什么需要唯一性呢？其次不明白为什么这里零集的测度为0，因为E'=什么呢？追答因为这里的补充定义的零测集都是原来零测集的子集，所以要定义测度只能定义成0。这里如果定义barm(C)=m(B)，因为C的表示并不唯一，所以需要证明不管C=B并A怎么表示，最后的结果都是唯一的。追问有一点不明白，我们不是定义新的测度barmE=Bn吗？为什么又可以直接说是零呢？不是应该找一个BnUAn吗追答

追问大大能不能解释一下第四个呢？那个不等式怎么成立呢？尤其是左边怎么又变成了u呢？如果不是一意有什么问题呢？请问这本书的名字是哪个作者的呢追答第四个是证明完备性，C是F里的零测集A并B的子集，由四最后一步得到C属于barF。A和B都是F里的可测集，所以用μ是没问题的
不是一意的话2.4.1定义就有问题了，就可能对于同一个集合有不同的测度了。
这本书是《测度论与概率论基础》，程士宏编，北大出版社。追问就是测度这个方程必须是一对一的吧？不然就违背了一开始我们这样定义测度的想法了吧。

大大，对于第四个那个B怎么突然出现了呢？而且为什么那个不等式成立呢？还有一个问题请问良定是什么呢追答良定well-defined就是说我们给出的定义是合理的，与别的公理定理等是相容的。

B在证明最初有说明。A并B包含于A并B并N，再用测度次可加性。追问您是说ba rF的定义吧，那么如果A并N属于barF，那么根据定义A并N应该属于A'UN',(A'属于F和N'属于B且u(B)=0)呀应该是等于A并N等于A'并N'因为AUN=A'UN'属于A'UB但是这里说C是属于AUB呀追答这里的目的是证明任意零测集的子集都可测（属于barF），并且测度为0。A并N是barF里的零测集，C是它的子集，证明C属于barF且测度为0就行了追问是的。抱歉…但是我不明白怎么证明属于，也就是看不懂那个不等式为什么成立，成立以后又怎么说明C属于追答A并B还是F里的零测集，C是A并B的子集，C=空集并C，前面空集属于F，后面的C是F里零测集的子集，所欲属于barF追问为什么A并B还是F里的零测集呢追答四里面证明了追问那不是A并N吗？…明白了。因为证明了一意。卡壳了… 总是回去套最初的定义A并N就是barF了…我又套了一遍定义。 但是因为证明了一意，所以测度都一样最后一个问题，最后是因为空集属于F然后C属于AUB，AUB属于F且测度为0，所以C属于barF
和u(AUB)能不能解释一下怎么想A并N测度为0，那么扩大后到B还是0呢？难道因为定义bar u(AUB)=u(A),所以从一开始的目标就是把A选作空集(因为空集测度等于0)然后B就是子集。就是因为原来的测度必须定义在原来的集合上，所以我们选择AUN，因为这样就有A了，然后A的选择就是空集去满足测度为零。。。似乎很神奇。似乎很明显谢谢您了。来自：求助得到的回答

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