在平面上任给n个点P1,P2,…,Pn,证明在单位圆周上存在点A满足|AP1|*|AP2|*…*|APn|

在平面上任给n个点P1,P2,…,Pn,证明在单位圆周上存在点A满足|AP1|*|AP2|*…*|APn|

利用复变函数证明。
设P1,P2,...,Pn在复平面上表示成复数为z1,z2,...,zn
定义n次多项式P(z) = (z-z1)(z-z2)...(z-zn)
只要证明在|z|=1上，max |P(z)| >= 1
（由于单位圆是紧的，所以最大模肯定能取到）

考虑函数G(z) = P(z)/z^n
作变换w = 1/z，得G(w) = (1-z1*w)(1-z2*w)...(1-zn*w)，由于G(w)是解析函数，其最大模在边界上取到，而G(0) = 1，所以在单位圆|w|=1上max |G(w)| >= 1
而|w| = 1时，|G(w)| = |P(z)/z^n| = |P(z)|，且|z| = |1/w| = 1
这就证明了|z| = 1时，max |P(z)| >= 1追问最大值大于1 乘积不一定大于1 啊 就像 2*0.8*0.4=0.64追答|P(z)| = |z-z1|*|z-z2|*...*|z-zn| ＝ |AP1|*|AP2|*...*|APn|就是n条线段的乘积，
这里A就是z，Pk就是zk,|z-zk|就是|APk|。
max |P(z)|表示对多项式P(z)的模求最大值，而不是求线段的最大值max |z-zk|

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