只要n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么它这n个线性无关特征向量

答案:2 悬赏:0 手机版

解决时间 2021-01-04 14:00

提问者网友：寂寞撕碎了回忆
2021-01-03 17:14

只要n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么它这n个线性无关特征向量组成的矩阵P就能使P^(-1)AP为对角矩阵，为什么后面还要学求什么正交矩阵Q,使Q^(-1)AQ为对角矩阵？？
[对于实对称矩阵的对角化，不是说矩阵P一定要是正交矩阵，非奇异也可以。以第一题为例，先求出特征值：4,4,4,-8。再求解特征向量，对应于特征值4的特征向量p1=(1,-1,0,0)'，p2=(1,0,-1,0)'，p3=(1,0,0-1)'，对应于特征值-8的特征向量p4=(1,1,1,1)'，矩阵P=(p1,p2,p3,p4)，矩阵P是非奇异的，且P逆×A×P=diag(4,4,4,-8)若要求正交矩阵Q，使得Q'AQ是对角矩阵，那么把矩阵P化成正交矩阵即可，只要把p1,p2,p3正交化单位化一下，把p4单位化一下即可，得到q1=(1,-1,0,0)'/√2，q2=(1,1,-2,0)'/√6，q3=(1,1,1,-3)'/√(12)，q4=(1,1,1,1)'/2，矩阵Q=(q1,q2,q3,q4)，则Q是正交矩阵，且Q'AQ=diag(4,4,4,-8)]

最佳答案

五星知识达人网友：独钓一江月
2021-01-03 17:45

你仅仅想问为什么要正交化？正交矩阵应该有很多好的数学性质（例如可以求空间直和等），这种额外的好处没有在这里描述，也不一定和对角化有关

全部回答

1楼网友：第四晚心情
2021-01-03 18:50

向量个数大于维数时一定线性相关。n阶矩阵的特征向量是n维向量，任意n+1个特征向量一定线性相关，所以最多有n个线性无关的特征向量。

我要举报

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息