已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．它的外接圆半径为6．∠B，∠C和△ABC的面积S满足条件：S=

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．它的外接圆半径为6．∠B，∠C和△ABC的面积S满足条件：S=a2-（b-c）2且sinB+sinC=43．（1）求sinA； （2）求△ABC面积S的最大值．

（1）S=a2-b2-c2+2bc
=2bc-2bccosA
=2bc（1-cosA）．
又S＝
1
2 bcsinA
∴2bc(1?cosA)＝
1
2 bcsinA?sinA=4（1-cosA）
联立得：







sin2A+cos2A＝1
sinA＝4(1?cosA)
得：16（1-cosA）2+cos2A=1?（17cos2A-15）（cosA-1）=0
∵0＜A＜π，
∴cosA-1≠1
∴cosA＝
15
17 从而得：sinA＝
8
17
（2）S＝
1
2 bcsinA＝
4
17 bc
∵sinB+sinC＝
4
3 ，
∴
b
2R +
c
2R ＝
4
3
∵R=6，
∴b+c=16
∴S＝
4
17 bc＝
4
17 b(16?b)＝?
4
17 (b2?16b)＝?
4
17 (b?8)2+
256
17
∴当b=c=8时，S最大＝
256
17 ．

（1）由余弦定理，b^2 + c^2 - a^2 = 2bccosa s=a^2-(b^2+c^2)+2bc=-2bccosa+2bc=2bc(1-cosa) 而s=(bcsina)/2 对比以上两式，2(1-cosa)=(sina)/2 结合(sina)^2 + (cosa)^2 =1可解得sina=8/17.(另一解sina=0舍去） （2）由正弦定理，sinb=b/(2r),sinc=c/(2r),且r=6,代入sinb+sinc=4/3 所以b/12 + c/12 =4/3，b+c=16. s=(bcsina)/2=(4/17)bc<=(4/17)[(b+c)/2]^2=256/17. 即面积最大值为256/7。

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