A是n阶矩阵,α1,α2……αn是n维列向量, αn≠0,Aα1＝α2,……,Aαn-1=αn,Aα

A是n阶矩阵,α1,α2……αn是n维列向量, αn≠0,Aα1＝α2,……,Aαn-1=αn,Aα

题目不完整
再问： Aαn=0.求证A不能相似对角化。
再答： 没有别的条件? 如α1，α2……αn 线性无关之类的
再问： 那如果加个线性无关怎么做？？
再答： 由已知, A^(n-k)αk=αn≠0, A^(n-k+1)αk=Aαn=0 下证 α1,α2,...,αn 线性无关 设 k1α1+k2α2+...+knαn=0 用 A^(n-1) 左乘上式的两边,得 k1αn=0 由于 αn≠0, 所以 k1=0 所以 k2α2+...+knαn=0 同理, 用 A^(n-2) 左乘上式的两边,得 k2αn=0, 同样得 k2=0. 依此类推得 k1=k2=...=kn=0 所以 α1,α2,...,αn 线性无关. 因为 A(α1,α2,...,αn) = (Aα1,Aα2,...,Aαn) = (α2,α3,...,αn-1,0) =(α1,α2,...,αn)K K = 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 ... ... 0 0 ... 1 0 所以有 (α1,α2,...,αn)^-1A(α1,α2,...,αn) = K 所以A与K相似. 而K的特征值只有0, 且r(A)=n-1 所以K不能对角化 故A不能对角化.

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