求y=tanx+cotx+cscx-secx的值域（0﹤x﹤π／2）
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解决时间 2021-11-24 11:29
- 提问者网友：兔牙战士
- 2021-11-24 02:14
求y=tanx+cotx+cscx-secx的值域（0﹤x﹤π／2）
最佳答案
- 五星知识达人网友：一把行者刀
- 2021-11-24 02:53
解：函数的定义域为：{x∈R|x≠kπ/2,k∈Z}
设t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4),t∈[-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2]
则tanx+cotx=1/(sinxcosx)=2/(t^2-1)
secx+cscx=(sinx+cosx)/(sinxcosx)=2t/(t^2-1)
所以y=t+2(t+1)/(t^2-1)=t-1+2/(t-1)+1
由对勾函数的单调性可求得：
y∈(-∞,1-2√2]∪[2+3√2,+∞)
设t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4),t∈[-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2]
则tanx+cotx=1/(sinxcosx)=2/(t^2-1)
secx+cscx=(sinx+cosx)/(sinxcosx)=2t/(t^2-1)
所以y=t+2(t+1)/(t^2-1)=t-1+2/(t-1)+1
由对勾函数的单调性可求得：
y∈(-∞,1-2√2]∪[2+3√2,+∞)
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