如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1=C1E=BC=AB=1．①求证：D1E∥平面ACB1；②求证：平面D1B1E⊥平面DC

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1=C1E=BC=AB=1．
①求证：D1E∥平面ACB1；
②求证：平面D1B1E⊥平面DCB1．

解：①连接DC1，因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，且CC1=C1E，
所以DD1∥C1E且DD1=C1E，DD1EC1是平行四边形，DC1∥D1E．
又因为AD∥B1C1且AD=B1C1，ADC1B1是平行四边形，DC1∥AB1，
所以D1E∥AB1．
因为AB1?平面ACB1，D1E?平面ACB1，
所以D1E∥平面ACB1．

②连接AD1、DA1，则平面DCB1即平面A1B1CD，由①D1E∥AB1，知平面D1B1E即平面AD1EB1．
因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1．矩形ADD1A1中，AD=DD1，
所以A1D⊥AD1，又A1D∩CD=D，
所以AD1⊥平面A1B1CD，AD1?平面AD1EB1，
所以平面AD1EB1⊥平面A1B1CD．解析分析：①连接DC1，欲证D1E∥平面ACB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证D1E与平面平面ACB1内一直线平行，而D1E∥AB1，AB1?平面ACB1，D1E?平面ACB1，满足定理条件；②连接AD1、DA1，欲证平面AD1EB1⊥平面A1B1CD，根据面面垂直的判定定理可知在平面AD1EB1内一直线与平面A1B1CD垂直，而根据题意可得AD1⊥平面A1B1CD，AD1?平面AD1EB1，满足定理条件．点评：从中可以体会以下几点，一是依据判定定理整体思考、形成思路；二是通过图形变换，包括割、补、视图和射影等，建立试题各要素之间；三是将不规则图形向自己熟悉的规则图形（特别是长方形）转化，将基本空间图形原有的性质与试题条件有机结合，将试题要素“直接（直观）”地联系起来或凸显出来，使问题求解自然而然．

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