如何用积分法计算绕圆柱面旋转的螺旋线长度？

假如圆柱体的底面直径为0.5m，高3m，每一圈螺旋的间距为0.2m。

这个可以用参数积分来做。建立空间直角坐标系，原点O在圆柱底面圆心，螺线圈下端起点在x轴正半轴上，假设落选方向从上往下看位逆时针方向。
则我们可以得到这个螺线圈上每一点的坐标：x(t)=0.25cost，y(t)=0.25sint，z(t)=kt (k>0且k∈R)
我们要做的就是确定k的取值，使每一圈螺线的间距为0.2
也就是说，z(t+2π)-z(t)=0.2，带入z(t)=kt中算得k=1/(10π)
所以，螺线的轨迹方程为x(t)=0.25cost，y(t)=0.25sint，z(t)=t/(10π) (t≥0)
因为高为3，所以当z=3时算的t=30π
螺线圈的长度就是螺线圈轨迹积分，从0→30π
L=∫√{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}dt
=∫√[1/16+1/(100π^2)]dt
=√[1/16+1/(100π^2)]*30π
=(3/2)√(25π^2+4)
故，螺线圈的长度为(3/2)√(25π^2+4)米

x=0.25cosq y=0.25sinqz=q/(10pi)z=3q = (0, 30pi)l = int (0,30pi) [(0.25)^2+(1/(10pi))^2]^1/2dq = 30pi*(1/16+0.01/pi^2)^1/2=23.75

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