如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,∠B=60°,从初始时刻开始,点P Q同时从A

如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,∠B=60°,从初始时刻开始,点P Q同时从A

 解：（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
因而边长是6．设点P，Q从出发到相遇所用的时间是x秒．
根据题意得到x+2x=18，解得x=6秒．

（2）若△APQ是等边三角形，
此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
则CP=DQ，即x-6=18-2x，解得x=8；

（3）①当0≤x＜3时，
y=S_△AP1Q1=

1

2

AP1×AQ1×sin60°=

1

2

x2x

3

2

=

3

2

x2．（5分）
②当3≤x＜6时，
y=S_△AP2Q2
=

1

2

AP2×P2Q2
=

1

2

AP2 ×CQ2sin60°
=

1

2

x(12-2x)

3

2

=-

3

2

x2+3

3

x（7分）
③当6≤x≤9时，设P₃Q₃与AC交于点O．
（解法一）
过Q₃作Q₃E∥CB交AC于E，则△CQ₃E为等边三角形．
∴Q₃E=CE=CQ₃=2x-12
∵Q₃E∥CB
∴△COP₃∽△EOQ₃
∴

OC

OE

=

CP3

EQ3

=

x-6

2x-12

=

1

2

∴OC=

1

3

CE=

1

3

（2x-12）
y=S_△AOP3
=S_△ACP3-S_△COP3
=

1

2

CP3×ACsin60°-

1

2

OC×CP3sin60°
=

1

2

(x-6)×6×

3

2

-

1

2

×

1

3

(2x-12)(x-6)×

3

2

=-

3

6

x2+

7 3

2

x-15

3

；
（解法二）
如图，过点O作OF⊥CP₃于点F，OG⊥CQ₃，于点G，
过点P₃作P₃H⊥DC交DC延长线于点H．
∵∠ACB=∠ACD
∴OF=OG
又CP₃=x-6，CQ₃=2x-12=2（x-6），
∴S_△COP3=

1

2

S△COQ3
∴S△COP3=

1

3

S△CP3Q3
=

1

3

×

1

2

×CQ3×P3H
=

1

3

×

1

2

(2x-12)(x-6)×

3

2

=

3

6

(x-6)2

又S_△ACP3=

1

2

CP3×AC×sin60°
=

1

2

(x-6)×6×

3

2

=

3 3

2

（x-6）
∴y=S△AOP3
=S△ACP3-S△OCP3
=

3 3

2

(x-6)-

3

6

(x-6)2
=-

3

6

x2+

7 3

2

x-15

3

（10分）

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