如何证明正三角形中重心到三个顶点的距离和最小

如何证明正三角形中重心到三个顶点的距离和最小

费马点(Fermat Point)
在平面上一三角形 ，试找出内部一点 ，使得 为最小。首先，让我们先找到 点的性质，再来研究怎麼做出 点。
点有什麼性质呢？它的位置是否有什麼特殊意义呢？在中学里，我们学过三角形的内心、外心、重心以及垂心， 点和这些心之间有关联吗？还是和有些线段长、角度大小有关系呢？

、 和 很接近，这三个角度有何关联？

○1如右图，以 点为中心，将 旋转 到
因为旋转 ，且 ，所以 为一个正三角形
因此，
由此可知当 、 、 、 四点共线时， 为最小
○2若 共线时，则

同理，若 共线时，则
所以 点为满足 的点

等边三角形的中心即为三角形的重心，连接重心与顶点到对边的线段被重心分成2:1的比例，而这条边恰好就是等边三角形的高，于是中心到顶点距离为高×三分之二 而高=边长×√3/2，于是中心到顶点距离为边长×√3/3.

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