如何证明三角形三条中线交点将中线分成的两部分之比为2:1

如何证明三角形三条中线交点将中线分成的两部分之比为2:1

我记得是三角形向量那一块的，

是用向量推出来的。

记得结论就好。

用燕尾定律可以证明。

证法1

　　下面的是第一种方法：相似三角形法

　　已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

　　求证：AE=CE

证法1图

证明：

　　如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；

　　过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。

　　∵MN∥BC

　　∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD

　　∴MO：BD=NO：CD，NO：CD=AO：AD

　　∴MO：BD=NO：CD

　　∵AD是△ABC的一条中线

　　∴BD=CD

　　∴MO=NO

　　∵PQ∥AB

　　∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF

　　∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF

　　∴PO：BF=QO：AF

　　∵CF是△ABC的一条中线

　　∴AF=BF

　　∴PO=QO

　　∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO

　　∴△MOP≌△NOQ(SAS)

　　∴∠MPO=∠NQO

　　∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）

　　∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE

　　∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE

　　∴MR：AE=PR：CE

　　∵MN∥BC，PQ∥AB

　　∴四边形BMOP是平行四边形

　　∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）

　　∴AE=CE

 图：

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