已知A、B、C、D四点共圆，C、D、E、F四点共圆，A、B、E、F四点共圆

求证：直线AB、CD、EF互相平行或相交于一点

郭敦顒回答：
若A、B、C、D四点共圆，C、D、E、F四点共圆，A、B、E、F四点共圆
在A、B、C、D四点共圆中，若直线AB与CD不相交则AB∥CD，在C、D、E、F四点共圆中，若EF与CD不平行，则EF与CD相交，
连EC交AB或其延长线于K，连FD交AB或其延长线于P，则
∠EKP=∠ECD，∠FPK=∠FDC，∴ K、P、E、F四点共圆，
而K异于A，P异于B，∵AB、CD、EF它们的中点不共线（若共线则CD∥EF），
既然K、P、E、F四点共圆，那么A、B、E、F四点不共圆，这与题设条件矛盾，
∴当AB∥CD时，EF与CD不平行是不可能的，于是EF∥CD
∴AB∥CD∥EF。
在A、B、E、F四点共圆中，AB与EF相交于P，则CD与EF不平行，在C、D、E、F四点共圆中，CD与EF也相交于P，
A、B、C、D四点共圆的圆心为O，C、D、E、F四点共圆的圆心为Q，连OQ，则
OQ⊥CD中点KB，取AB中点M，EF中点N，连MO、NQ并延长相交于R，则R是A、B、E、F四点共圆的圆心，那么
P、R、M、N四点共圆，这是在AB与EF相交于P，CD与EF也相交于P的情况下得出的结论，否则，不可能。所以，AB与EF相交于P，CD与EF也相交于P。
上述证明似乎不尽完美，容再思考。

不一定，圆可能重叠，可能不重叠

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