初二数学2题（等腰三角形和等边三角形）

等腰三角形：

如图①。两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和ABC，E、A、C在一条直线上，连接BD，取BD的重点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由

等边三角形：

如图②，点P、M、N分别在正△ABC的各边上，且MP⊥AB，PN⊥AC

（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB=9cm，求MC

PS：要过程，急啊

第一题：△EMC是等腰直角三角形。

如图：作MF⊥BC于F，则MF是梯形ECBD的中位线，所以MF=(DE+BC)/2=(EA+AC)/2=EF=FC

所以：△EMC是等腰直角三角形

（实质上这个题目中的△ABC与△ADE只要是两个全等的直角三角形就有同样的结论了）

第二题：（1）因为∠A=60°且PN⊥AC

所以：∠1=30°，所以：∠2=60°

同理：∠3=60°，从而：∠4=60°

所以.△PMN为正三角形

（2）由（1）易知：MC=AN=BP

而：∠1=30°，所以：AP=2AN

所以：AB=3AN=3MC

所以：MC=3cm

1.△EMC为等腰直角三角形

证明如下：连接MA. 因为△ABC≌△DEA

所以 AD=BA 角DEA=BCA=90 DAE=ABC=30 ADE=BAC=60

又∵M为BD中点

∴AM=DM=DB=1/2DA（Rt△中，斜边中线=斜边一半）

也可得∠DAB=90 ∴∠ADB=∠DBA=∠DAM=∠BAM=45° ∴∠EMC=45+45=90

∴DM=AM（等角对等边）

∴∠EDM=60°+45°=135°=∠MAC

在△DEM与△MAC中，ED=AC ∠EDM=∠MAC DM=AM

∴△DEM≌△MAC

∴ME=MC

∴△EMC为等腰直角三角形

(2)

1.∵△ABC为正三角形 ∴∠A=B=C=60°

又∵MP⊥AB，PN⊥AC

所以∠PMB=APN=MNC=30° 所以∠PMN=PNM=MPN=60° 所以.△PMN为正三角形

2.这个就不详细写了...可根据 Rt△中，30°的对边为斜边的一半求出MC=1/2NC

AN+NC=9 可证AN=MC 所以AN=MC=3

2、在正△ABC中　　　∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°

∵PN⊥AC ＭＮ⊥ＢＣ

∴∠NMC＝９０°　∠ＰＮＡ＝９０°

∠MNC=180°-∠C-∠NMC=30°

∠PNM=180°-∠PNA-∠MNC=60°

同理可证∠∠ＮＰＭ＝６０°∠ＰＭＮ＝６０°

∴：△PMN是等边三角形；

（２）正△ABC　　　　ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝６

在ＲＴ△NMC中，∠MＮC＝３０°

∴ＭＣ＝１／２ＮＣ

ＢＭ＝ＮＣ

ＭＣ＝１／３ＢＣ＝３

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