有限维欧式空间V中的线性变换T在某组基下的矩阵是是对称的,就称T是一个对称变换.

令S和T是V上的两个对称变换且满足ST=TS,证明 V中存在一由S及T的共同特征向量所构成的标准正交基 很急 求解答

那么将他们对角化的矩阵P的列向量组是由特征向量构成利用几个简单的结论：
1.可交换，则二者存在公共特征向量。
2.若其中之一可对角化，则二者可同时对角化。
证明不细说了,T可同时对角化，由于P将S，自己查查。
由此可见,T均对角化了，那么P的列向量组是S，S

那先随便取定一组基b1，t在这组记下的矩阵设成a。 再取另一组基b2两组基间的过渡矩阵p：从b1到b2间的过渡矩阵。（此时b2可以由p唯一决定） t在b2下的矩阵设成c.易知c=p逆*a*p 那么这个问题的必要性就化简成为如下问题： a满足：对任意的n阶可逆矩阵p，c=p逆*a*p=a，相当于p和a可以交换：pa=ap，则必有a是数乘矩阵：a=k*i，i是单位矩阵。 证明：不妨设a的第i行第j列是aij 1 先证明a是对角矩阵：（与对角矩阵可交换的都是对角矩阵） 取p是一个对角矩阵d，且主对角线上元素为d1,d2,d3,...,dn，并保证这n个数两两不同，di≠dj ap的第i行第j列是dj*aij，pa的第i行第j列是di*aij，所以dj*aij=di*aij。 如果i不等于j，di≠dj，此时aij=0 所以a是对角矩阵 2 任取i,j 再取p=i+eij,其中eij是第i行第j列是1，其余全是零的矩阵。 并重新设a的主对角线上元素分别为a1,a2,a3,...,an pa的第i行第j列是aj，ap的第i行第j列是ai，aj=ai 所以a主对角线上元素全部相等，a是数乘矩阵 这样t也是数乘变换了。

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