设斜率为根号2/2的直线l与椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)交于不同的两点，

且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）
求详解 谢谢

因为斜率为根号二/2的直线与椭圆的交点射影为两焦点，所以交点横坐标为c且(c,根号二/2c)在椭圆上。所以有c2/a2+c2/2b2=1 由b2=a2-c2得5a2c2=2a4+2c4 设e2=t 2t2-5t+2=0 (2t-1)(t-2)=0 因为e<1所以t<1 所以2t=1 e2=1/2 e=根号二/2

把y=x/√2+m代入x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)得 b^2x^2+a^2(x^2/2+√2mx+m^2)=a^2b^2, 整理得(b^2+a^2/2)x^2+√2ma^2*x+a^2(m^2-b^2)=0,① 依题意土c是①的两根， 所以m=0,-a^2b^2/(b^2+a^2/2)=-c^2, 所以a^2(a^2-c^2)=c^2(3a^2/2-c^2), 整理得a^4-(5/2)a^2c^2+c^4=0, (a^2-c^2/2)(a^2-2c^2)=0, 所以a^2=2c^2, (c/a)^2=1/2, 所以c/a=√2/2,为所求.

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