证明在（-l,l上的函数fx必可表示为一个偶函数与一个奇函数的和的方法为
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解决时间 2021-03-23 07:10
- 提问者网友：無理詩人
- 2021-03-23 01:35
证明在（-l,l上的函数fx必可表示为一个偶函数与一个奇函数的和的方法为
最佳答案
- 五星知识达人网友：怙棘
- 2021-03-23 01:53
证明：设f(x)为定义在（-I,I）上的任意一个函数
令 h(x) =[f(x)+f(-x)]/2
则,h(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2= h(x)
所以,h(x)为偶函数.
令 g(x) =[f(x)-f(-x)]/2
则,g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2= -[f(x)-f(-x)]/2= -g(x)
所以g(x)为奇函数.
又因为,f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2 =h(x)+g(x)
所以,f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和追问为什么这个方法是唯一的
令 h(x) =[f(x)+f(-x)]/2
则,h(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2= h(x)
所以,h(x)为偶函数.
令 g(x) =[f(x)-f(-x)]/2
则,g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2= -[f(x)-f(-x)]/2= -g(x)
所以g(x)为奇函数.
又因为,f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2 =h(x)+g(x)
所以,f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和追问为什么这个方法是唯一的
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