结合著名的杨辉三角，你能得出多少有关（a+b）^n展开系数的结论

结合著名的杨辉三角，你能得出多少有关（a+b）^n展开系数的结论

【题2】 在杨辉三角形中，第5行第3数上的数10，写成肩上2数的和，可以是：
A.10=4+6    B.10=3+7    C.10=2+8    D.10=5+5
【解答】 杨辉三角形中的任何一个数，都由1+1的错位加法形成，加法的结果是唯一的. 因此，第5行第3数10，肩挑两数的结果是4+6. 答案为A.
丙生提议：这个三角形还可以命名为“单肩串数三角形”.
因为三角形中任何一个数都等于它的“一个肩上数斜向上顶住的一串数”.
如三角形中第5行第3数10，它等于它右肩上的数6，并由6向左斜上方串联的一组数的和，即
10=6+3+1
它也等于它左肩上的数4，并由4向右斜上方串联的一组数的和，即
10=4+3+2+1
老师说，这个发现很有意思. 要知道，“单肩串数”这个性质实为“肩挑两数”性质推论或发展. 谁能讲出这个道理来？
丁生发言：“单肩串数”实为“肩挑两数”进行递推的结果，例如数10，如果是右肩串数，则是3次“肩挑两数”的结果.
10=6+4=6+（3+1）=6+［3+（1+0）］=6+3+1+0
如果是左肩串数，则是4次“肩挑两数”的结果：
10=4+6=4+（3+3）=4+［3+（2+1）］
=4+{3+［2+（1+0）］}=4+3+2+1+0
老师总结：“单肩串数”是“肩挑两数”的递推结果；而“肩挑两数”又是“错位加法”的累计结果.
错位加法是问题之根.
三、a的相乘  实为b的组合
为了弄清二项式 (a+b)n = (a+b) (a+b)…(a+b)= A0an+ A1an-1b+…+ An-1 abn-1+ Anbn  展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.
(a+b)2 = (a+b) (a+b)
此式中，我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作b1和b2，于是有
(a+b)2 = (a+b1) (a+b2)
    =a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2
由此看到，最高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1 +b2，这是从集合{ b1，b2}中，每次取1个元素所成的组合. 其组合数为 =2.
常数项b1b2，是从集合{ b1，b2}每次取出2个元素所成的组合，组合数为 =1.
统一地看，最高项a2中不含b，因此可以看作，从集合{ b1，b2}每次取出0个元素所对应的组合.
组合数为 =1.
这样一来，“和的平方”展开式可写成 (a+b)2 = a2+ ab+ b2
有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a+b)n展开后各项的系数.
【题3】 试用组合数表示二项式
    (a+b)n=(a+b) (a+b)…(a+b) = A0an+ A1an-1b+…+ An-1 abn-1+ Anbn
展开式中各系数A0，A1，…，An-1，An.
【解答】 对于an，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中每次取出0个元素的组合. 组合数为A0= .
对于an-1b，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出1个元素的组合，组合数为A1= .
……
对于abn-1，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出n-1个元素的组合，组合数为 .
对于bn，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出n个元素的组合，组合数为 .
于是，二项式(a+b)n可展开成如下形式
(a+b)n= an+ an-1b +…+ abn-1 + bn
这就是所谓的“二项式定理”.
它是“和的平方式”的一般形式，或者说，(a+b)2 = a2+2ab+b2是二项式定理的特殊形式.
从数学思想上说，“和的平方式”是“二项式定理”之根. 反过来，二项式定理为和的平方之果.

四、n始于1  r始于0
在杨辉三角形中，我们看到：n从1开始，但是第1行有2个数，第2行有3个数，…，第k行有k+1个数，这正是二项式展开时“错位相加，项数多1”的结果.
(a+b)n= an+ an-1b +…+ an-rbr +…+ bn
展开式中的r从0取到n，故(a+b)n展开式有n+1项，其中关于r的通项 an-rbr不是第r项，而是第r+1项. 故二项式展开式的通项公式为 Tr+1= an-rbr   初学者经常说成 Tr= an-rbr
【题4】 在 的展开式中，第几项含x3？
【说明】 在通项公式 an-rbr中求得r值，对应的r+1为其项数.
【解答】 Tr+1 = (2x)4-r =24-r    令    得r =2
    T3= (2x)2•x=24x3    故展开式的第3项含x3项24x3.
【题5】 已知 ，求展开式中x9的系数.
【说明】 x9的系数不是二项式中 的系数，但可通过通项公式 an-rbr求出对应的r来.
【解答】 设展开式的第r+1项能化简得到x9项.
则有    Tr+1 = (x2)9-r• =
令   18-3r = 9   得r =3    故   x9的系数为
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在杨辉三角形中，第5行第3数上的数10，写成肩上2数的和，可以是：A.10=4+6    B.10=3+7    C.10=2+8    D.10=5+5 杨辉三角形中的任何一个数，都由1+1的错位加法形成，加法的结果是唯一的. 因此，第5行第3数10，肩挑两数的结果是4+6. 答案为A.丙生提议：这个三角形还可以命名为“单肩串数三角形”. 因为三角形中任何一个数都等于它的“一个肩上数斜向上顶住的一串数”.如三角形中第5行第3数10，它等于它右肩上的数6，并由6向左斜上方串联的一组数的和，即10=6+3+1它也等于它左肩上的数4，并由4向右斜上方串联的一组数的和，即10=4+3+2+1老师说，这个发现很有意思. 要知道，“单肩串数”这个性质实为“肩挑两数”性质推论或发展. 谁能讲出这个道理来？丁生发言：“单肩串数”实为“肩挑两数”进行递推的结果，例如数10，如果是右肩串数，则是3次“肩挑两数”的结果.10=6+4=6+（3+1）=6+［3+（1+0）］=6+3+1+0如果是左肩串数，则是4次“肩挑两数”的结果：10=4+6=4+（3+3）=4+［3+（2+1）］=4+=4+3+2+1+0老师总结：“单肩串数”是“肩挑两数”的递推结果；而“肩挑两数”又是“错位加法”的累计结果.错位加法是问题之根.三、a的相乘  实为b的组合为了弄清二项式 (a+b)n = (a+b) (a+b)…(a+b)= A0an+ A1an-1b+…+ An-1 abn-1+ Anbn  展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.(a+b)2 = (a+b) (a+b)此式中，我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作b1和b2，于是有(a+b)2 = (a+b1) (a+b2)    =a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2由此看到，最高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1 +b2，这是从集合中，每次取1个元素所成的组合. 其组合数为 =2.常数项b1b2，是从集合每次取出2个元素所成的组合，组合数为 =1.统一地看，最高项a2中不含b，因此可以看作，从集合每次取出0个元素所对应的组合.组合数为 =1.这样一来，“和的平方”展开式可写成 (a+b)2 = a2+ ab+ b2有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a+b)n展开后各项的系数. 试用组合数表示二项式    (a+b)n=(a+b) (a+b)…(a+b) = A0an+ A1an-1b+…+ An-1 abn-1+ Anbn展开式中各系数A0，A1，…，An-1，An. 对于an，它是从集合中每次取出0个元素的组合. 组合数为A0= .对于an-1b，它是从集合中，每次取出1个元素的组合，组合数为A1= .……对于abn-1，它是从集合中，每次取出n-1个元素的组合，组合数为 .对于bn，它是从集合中，每次取出n个元素的组合，组合数为 .于是，二项式(a+b)n可展开成如下形式(a+b)n= an+ an-1b +…+ abn-1 + bn这就是所谓的“二项式定理”.它是“和的平方式”的一般形式，或者说，(a+b)2 = a2+2ab+b2是二项式定理的特殊形式.从数学思想上说，“和的平方式”是“二项式定理”之根. 反过来，二项式定理为和的平方之果.四、n始于1  r始于0在杨辉三角形中，我们看到：n从1开始，但是第1行有2个数，第2行有3个数，…，第k行有k+1个数，这正是二项式展开时“错位相加，项数多1”的结果.(a+b)n= an+

4个

    1    (a+b)^0=1

    1    1    (a+b)^1=a+b

    1    2    1    (a+b)²=a²+2ab+b²

    1   3    3    1    (a+b)³=a³+3a²b+3b²a+b³

    1    4    6    4    1    ………………    结论是：各项系数符合杨辉三角形

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