设f（x）是具有一阶连续导数的非负任意函数，且∫f(x)0f（t）dt是当x→0时与4x2等价的无穷小量，则f′（0
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解决时间 2021-03-22 13:38
- 提问者网友：我没有何以琛的痴心不悔
- 2021-03-22 01:34
设f（x）是具有一阶连续导数的非负任意函数，且∫f(x)0f（t）dt是当x→0时与4x2等价的无穷小量，则f′（0）=（ ）A．0B．1C．2D．12
最佳答案
- 五星知识达人网友：逐風
- 2021-03-22 02:08
∵f（x）是具有一阶连续导数的非负任意函数，
∴
lim
x→0 f′(x)＝f′(0)，
lim
x→0 f′[f(x)]＝f′[f(0)]
又由：
∫ f(x)
0
f（t）dt是当x→0时与4x2等价的无穷小量，
可知：
lim
x→0 f(x)＝0且
lim
x→0
∫ f(x)
0
f(t)dt
4x2 ＝1，
∴
lim
x→0
∫ f(x)
0
f(t)dt
4x2 ＝
lim
x→0
f(f(x))f′(x)
8x =f′(0)
lim
x→0
f[f(x)]
8x =f′(0)
lim
x→0
f′[f(x)]f′(x)
8 =
[f′(0)]2
8
lim
x→0 f′[f(x)]=
[f′(0)]3
8 ＝1
于是：f′（0）=2，
故选：C．
∴
lim
x→0 f′(x)＝f′(0)，
lim
x→0 f′[f(x)]＝f′[f(0)]
又由：
∫ f(x)
0
f（t）dt是当x→0时与4x2等价的无穷小量，
可知：
lim
x→0 f(x)＝0且
lim
x→0
∫ f(x)
0
f(t)dt
4x2 ＝1，
∴
lim
x→0
∫ f(x)
0
f(t)dt
4x2 ＝
lim
x→0
f(f(x))f′(x)
8x =f′(0)
lim
x→0
f[f(x)]
8x =f′(0)
lim
x→0
f′[f(x)]f′(x)
8 =
[f′(0)]2
8
lim
x→0 f′[f(x)]=
[f′(0)]3
8 ＝1
于是：f′（0）=2，
故选：C．
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