假设随机变量X和Y独立同分布,均服从标准正态分布,试证明:Z1=X+Y与Z2=X-Y相
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解决时间 2021-03-21 06:36
- 提问者网友：藍了天白赴美
- 2021-03-20 15:31
假设随机变量X和Y独立同分布,均服从标准正态分布,试证明:Z1=X+Y与Z2=X-Y相互独立
最佳答案
- 五星知识达人网友：佘樂
- 2021-03-20 16:47
∵X，Y独立，且服从标准正态分布，
∴(X，Y)~N(0，1；0，1；0)
【二维正态分布】
∴(X+Y，X-Y)也服从二维正态分布
且E(X²)=D(X)+E²(X)=1
E(Y²)=D(Y)+E²(Y)=1
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2
E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0
E[(X+Y)(X-Y)]
=E(X²-Y²)
=E(X²)-E(Y²)
=0
∴Cov(X+Y，X-Y)
=E[(X+Y)(X-Y)]-E(X+Y)·E(X-Y)
=0
∴Z1=X+Y，Z2=X-Y相互独立
∴(X，Y)~N(0，1；0，1；0)
【二维正态分布】
∴(X+Y，X-Y)也服从二维正态分布
且E(X²)=D(X)+E²(X)=1
E(Y²)=D(Y)+E²(Y)=1
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2
E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0
E[(X+Y)(X-Y)]
=E(X²-Y²)
=E(X²)-E(Y²)
=0
∴Cov(X+Y，X-Y)
=E[(X+Y)(X-Y)]-E(X+Y)·E(X-Y)
=0
∴Z1=X+Y，Z2=X-Y相互独立
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- 1楼网友：末日狂欢
- 2021-03-20 18:21
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