设等比数列 {an}的公比q<1,前n项和为Sn.已知a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式
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解决时间 2021-04-23 06:16
- 提问者网友：练爱
- 2021-04-22 11:53
设等比数列 {an}的公比q<1,前n项和为Sn.已知a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式
最佳答案
- 五星知识达人网友：慢性怪人
- 2021-04-22 13:21
等比数列an=a1*q^(n-1)，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
∴a3=2=a1*q^(3-1)=a1*q^2
S4=5S2 => a1(1-q^4)/(1-q)=5*a1(1-q^2)/(1-q)
=> 1-q^4=5(1-q^2) => q^4-5q^2+4=0 解得q^2=1或q^2=4
∵q<1，∴q=-1或-2
当q=-1时，由2=a1*q^2，解得a1=2
当q=-2时，由2=a1*q^2，解得a1=1/2
∴通项公式为 an=2*(-1)^(n-1) 或 an=1/2*(-2)^(n-1)
∴a3=2=a1*q^(3-1)=a1*q^2
S4=5S2 => a1(1-q^4)/(1-q)=5*a1(1-q^2)/(1-q)
=> 1-q^4=5(1-q^2) => q^4-5q^2+4=0 解得q^2=1或q^2=4
∵q<1，∴q=-1或-2
当q=-1时，由2=a1*q^2，解得a1=2
当q=-2时，由2=a1*q^2，解得a1=1/2
∴通项公式为 an=2*(-1)^(n-1) 或 an=1/2*(-2)^(n-1)
全部回答
- 1楼网友：duile
- 2021-04-22 13:43
sn=a1(1-q^n)/(1-q)
所以s4=a1(1-q^4)/(1-q)=5s2=5a1(1-q^2)/(1-q)
即1+q^2=5
因为公比q<1
所以q=-2
而a3=a1q^2=2
所以a1=1/2
故an=a1q^(n-1)=1/2*(-2)^(n-1)=(-1)^(n-1)*2^(n-2)
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