线性代数矩阵的可逆证明题求助

线性代数矩阵的可逆证明题求助
1:设方阵A满足A^2 - A - 2E = 0 , 证明A及A+2E都可逆,并求出A(-1)及(A+2E)(-1)
2：设A^k = 0(k为正整数),证明：(E-A)(-1) = E + A + A^2 + …… + A^(k-1)

1.证明:因为 A^2 - A - 2E = 0
所以 A(A-E)/2 = E
所以 A可逆,且 A^-1 = (1/2)(A-E).
又由 A^2 - A - 2E = 0
得 A(A+2E) -3A-2E = 0
A(A+2E) -3(A+2E) +4E = 0
所以 (A-3E)(A+2E) = -4E.
所以A+2E可逆,且 (A+2E)^-1 = (-1/4)(A-3E).
2.证明:因为A^k = 0,所以
(E-A)(E + A + A^2 + …… + A^(k-1))
= E + A + A^2 + …… + A^(k-1) - A - A^2 - …… - A^(k-1) - A^k
= E - A^k
= E.
所以 E-A 可逆,且 (E-A)^-1 = E + A + A^2 + …… + A^(k-1)

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