如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.1,求证面AeC⊥面

如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.1,求证面AeC⊥面
如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
1,求证面AeC⊥面PDb
2,若PD=√2AB=2,且点E是PB中点,F是PD靠近P的一个三等分点求二面角A～EF～D的余弦值!
第一问已经知道了

取PD另一个三等分点G,连接BG,易知BG//EF
取AD的中点H,连接GH,易知GH//AF
连接HB.因BG交GH于平面HBG,且EF交AF于平面AEF,则平面HBG//平面AEF.于是二面角A-EF-D的大小等于二面角H-BG-D的大小
过H作HJ⊥BD交BD于J,由正方形性质易知HJ//AC且HJ=1/4AC=1/2.过J作JK⊥BG交BG于K,从⊿PDB的平面图易知RT⊿BDG∽RT⊿BKJ,结合勾股定理及相似比知JK=3/√40
连接HK.因AC⊥BD（正方形对角线性质）、AC⊥PD（PD平面ABCD）,易知AC⊥平面PBD；而HJ//AC（前述）,则HJ⊥平面PBD,进而知HJ⊥BG；而JK⊥BG（前作）,于是∠HKJ为二面角H-BG-D的大小,也即二面角A-EF-D的大小
因HJ⊥平面PBD（前述）,则HJ⊥JK（JK在平面PBD上）,表明⊿HKJ为RT⊿.由勾股定理有HK=√19/√40
在RT⊿HKJ中,由三角函数定义知cos∠HKJ=JK/HK=3√19/19

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