三个正数的算术几何平均不等式怎样证明
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解决时间 2021-12-30 17:52
- 提问者网友：温柔港
- 2021-12-30 10:46
三个正数的算术几何平均不等式怎样证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：患得患失的劫
- 2021-12-30 12:17
设a、b、c≥0 a＝x³ b＝y³ c＝z³
∴x、y、z≥0
x²＋y²≥2xy y²＋z²≥2yz z²＋x²≥2zx 相加得x²＋y²＋z²≥xy＋yz＋zx
又x＋y＋z≥0 ∴x³＋y³＋z³－3xyz＝﹙x＋y＋z﹚﹙x²＋y²＋z²－xy－yz－zx﹚≥0
即x³＋y³＋z³≥3xyz ﹙ a＋b＋c﹚/3≥﹙abc﹚^﹙1/3﹚
∴x、y、z≥0
x²＋y²≥2xy y²＋z²≥2yz z²＋x²≥2zx 相加得x²＋y²＋z²≥xy＋yz＋zx
又x＋y＋z≥0 ∴x³＋y³＋z³－3xyz＝﹙x＋y＋z﹚﹙x²＋y²＋z²－xy－yz－zx﹚≥0
即x³＋y³＋z³≥3xyz ﹙ a＋b＋c﹚/3≥﹙abc﹚^﹙1/3﹚
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