已知函数f（x）=x²+8/x

已知函数f（x）=x²+8/x

首先根据 f（a）=a^2+8/a   a>3  求出f(a)的取值范围，得到[11.67  +无穷)
然后证明   f（x）=x²+8/x>f(a=3)=11.67   有3个解，即x²+8/x-11.67在R上有3个实数根。
实际上确实有三个解。如下图



证明过程为首先证明在x=0附近有一个解，因为+0时 无穷大   -0时无穷小，经过-11.67后必然有一个解。
然后通过判别式 x^2+8+11.67x=0的判别式大于0，所以必然有2个根。

f（x）=x²+8/x

x^2+8/x= a^2+8/a，两边同乘以ax，得ax^3+8a=(a^3)x+8x，移项并整理得，
ax(x^2-a^2)-8(x-a)=0，即(x-a)[ax^2+(a^2)x-8]=0，显然x=a是其一个解，所以只要证明
ax^2+(a^2)x-8=0有两个不等于a的相异解即可，运用一元二次方程的判别式，有
（a^2）^2-4*a*(-8)=a^4+32a，因为a>3，所以恒有a^4+32a>0，所以ax^2+(a^2)x-8=0必有两个解，因为x=a不能是ax^2+(a^2)x-8=0的解，所以a^3+a^3-8不等于0，即a不等于4^(1/3)，即4的立方根。因为4^(1/3)<3，所以a>3时，f(x)=f(a)必有三个解。
实际上，该题运用导数来解一下，会更好理解。设g(x)=f(x)-f(a)，在此不考虑a的范围，当然a是不等于0的。对g(x)求导，容易证明，g(x)在x<0的区间上单调递减，在04^(1/3)的区间上单调递增，而g(x)=0至多有三个解，所以若g(x)当真存在三个零点，设这三个零点分别为x1，x2，x3，不妨假设x34^(1/3)。而上面已经证明a=4^(1/3)时，g(x)只有两个零点，其中一个零点小于0，另一个零点便为4^(1/3)。
有点啰嗦了，所以运用导数探究一下该题，对解的分布会有更直观的认识。

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