【法向量】什么叫法向量?什么叫法向量啊?要详细一点的.
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解决时间 2021-03-02 06:26
- 提问者网友：孤山下
- 2021-03-02 03:30
【法向量】什么叫法向量?什么叫法向量啊?要详细一点的.
最佳答案
- 五星知识达人网友：街头电车
- 2021-03-02 04:33
【答案】 法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行.从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息.一般不选择零向量为平面的法向量.
如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2).由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0.由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的).为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的.因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的.
法向量的主要应用如下：
1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；
2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；
3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量).利用这个原理也可以求异面直线的距离
法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作.只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案.缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候.
（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ,则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角,则为其补角）的余角,即 .
例题
(2003全国（理）18题) 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,
（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
（Ⅰ）以为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
设,则, , ,
, , ,
∴ , ,
∴ , ,
由 得, ,
∴ , , ,设平面的法向量为 ,则 , ,由, 得,
,令 得, ,
∴平面 的一个法向量为 ,
∴ 与的夹角的余弦值是 ,
∴ 与平面所成角为 .
当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行.
（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行.
例题
（2004年高考湖南（理）19题）如图,在底面是菱形的四棱锥中, , ,点在上,且 ,
（I）证明： ；
（II）求以为棱, 与为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点,使?证明你的结论.
（Ⅲ）以为坐标原点,直线分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系（如图）,由题设条件,相关各点的坐标分别为, ,
∴ , ,
设平面的法向量为,则由题意可知, ,
由 得,
∴ 令得, ,
∴平面的一个法向量为
设点是棱上的点,则
,
由 得,
∴ , ∴当是棱的中点时, .
同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直.
（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为,设二面角的大小为,则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补,当二面角的锐角时, ；当二面角为钝角时, .
例题
2004年高考湖南（理）19题：
（Ⅱ）由题意可知, , ,
∵ ∴ 为平面的一个法向量,
设平面的法向量为 ,则由题意可知, ,
由 得,
∴ 令 得, ,
∴平面的一个法向量为,
∴向量与夹角的余弦值是 , ∴ ,
由题意可知,以为棱,与为面的二面角是锐角,
∴所求二面角的大小为 .
我们知道当两个平面的法向量互相垂直时,两个平面所成的二面角为直角,此时两个平面垂直,我们可用这一特征来证明两个平面垂直.
（四）设两个平面和的法向量分别为,若,则这两个平面垂直.
例题
（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中, , 分别是上的点,且 ,求证：平面平面 .
证明：以为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
则 , , , ,
∴ , ,
设平面的法向量为 ,则由题意可知,
由 得,
∴ 令得, ,
∴平面的一个法向量为 ,
由题意可知,平面的一个法向量为
∴ ∴平面平面
（五）设平面的法向量为,是平面外一点, 是平面内一点,则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值,即 .
我们再来看2003年全国（理）18题：
（Ⅱ）设 ,则 , , , ,
∴ , ,
设平面 的法向量为 ,则 , ,
由 , 得,
,令 得, ,
∴平面的一个法向量为 ,而 ,
∴点 到平面的距离 .
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离.
（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量）,分别为异面直线上的点,则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值,即.
例题
（1999年全国（理）21题）如图,已知正四棱柱中,点在棱上,截面 ,且面与底面所成的角为 ,求异面直线与之间的距离.
以为坐标原点,建立如图所示的坐标系 ,
连结交于 ,连结 ,则就是
面 与底面所成的角的平面角,
∴= ,∴
又∵截面 ,为的中点,
∴ 为的中点,∴ ,
则 , , ,
∴ , ,
设向量 与两异面直线都垂直,由 ,得,
∴ ,∴ ,
∴异面直线与之间的距离
前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题,实现了几何问题的代数化,将复杂的几何证明转化为代数运算,从而避免了几何作图,减少了逻辑推理,降低了难度.但公式的应用也有一定的局限性,一般地,在能建立空间直角坐标系的情况下,利用法向量较为有效.
如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2).由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0.由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的).为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的.因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的.
法向量的主要应用如下：
1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；
2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；
3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量).利用这个原理也可以求异面直线的距离
法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作.只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案.缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候.
（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ,则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角,则为其补角）的余角,即 .
例题
(2003全国（理）18题) 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,
（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
（Ⅰ）以为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
设,则, , ,
, , ,
∴ , ,
∴ , ,
由 得, ,
∴ , , ,设平面的法向量为 ,则 , ,由, 得,
,令 得, ,
∴平面 的一个法向量为 ,
∴ 与的夹角的余弦值是 ,
∴ 与平面所成角为 .
当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行.
（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行.
例题
（2004年高考湖南（理）19题）如图,在底面是菱形的四棱锥中, , ,点在上,且 ,
（I）证明： ；
（II）求以为棱, 与为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点,使?证明你的结论.
（Ⅲ）以为坐标原点,直线分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系（如图）,由题设条件,相关各点的坐标分别为, ,
∴ , ,
设平面的法向量为,则由题意可知, ,
由 得,
∴ 令得, ,
∴平面的一个法向量为
设点是棱上的点,则
,
由 得,
∴ , ∴当是棱的中点时, .
同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直.
（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为,设二面角的大小为,则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补,当二面角的锐角时, ；当二面角为钝角时, .
例题
2004年高考湖南（理）19题：
（Ⅱ）由题意可知, , ,
∵ ∴ 为平面的一个法向量,
设平面的法向量为 ,则由题意可知, ,
由 得,
∴ 令 得, ,
∴平面的一个法向量为,
∴向量与夹角的余弦值是 , ∴ ,
由题意可知,以为棱,与为面的二面角是锐角,
∴所求二面角的大小为 .
我们知道当两个平面的法向量互相垂直时,两个平面所成的二面角为直角,此时两个平面垂直,我们可用这一特征来证明两个平面垂直.
（四）设两个平面和的法向量分别为,若,则这两个平面垂直.
例题
（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中, , 分别是上的点,且 ,求证：平面平面 .
证明：以为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
则 , , , ,
∴ , ,
设平面的法向量为 ,则由题意可知,
由 得,
∴ 令得, ,
∴平面的一个法向量为 ,
由题意可知,平面的一个法向量为
∴ ∴平面平面
（五）设平面的法向量为,是平面外一点, 是平面内一点,则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值,即 .
我们再来看2003年全国（理）18题：
（Ⅱ）设 ,则 , , , ,
∴ , ,
设平面 的法向量为 ,则 , ,
由 , 得,
,令 得, ,
∴平面的一个法向量为 ,而 ,
∴点 到平面的距离 .
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离.
（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量）,分别为异面直线上的点,则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值,即.
例题
（1999年全国（理）21题）如图,已知正四棱柱中,点在棱上,截面 ,且面与底面所成的角为 ,求异面直线与之间的距离.
以为坐标原点,建立如图所示的坐标系 ,
连结交于 ,连结 ,则就是
面 与底面所成的角的平面角,
∴= ,∴
又∵截面 ,为的中点,
∴ 为的中点,∴ ,
则 , , ,
∴ , ,
设向量 与两异面直线都垂直,由 ,得,
∴ ,∴ ,
∴异面直线与之间的距离
前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题,实现了几何问题的代数化,将复杂的几何证明转化为代数运算,从而避免了几何作图,减少了逻辑推理,降低了难度.但公式的应用也有一定的局限性,一般地,在能建立空间直角坐标系的情况下,利用法向量较为有效.
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- 1楼网友：千杯敬自由
- 2021-03-02 05:43
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