直线Y=KX-2(K>0)与双曲线Y=K/X在第一象限内交于R,与X轴交于P,与Y轴交于Q,RM垂直X轴于M,若三角形OPQ与三角形PRM的面积比是4:1,则K值是多少

直线Y=KX-2(K>0)与双曲线Y=K/X在第一象限内交于R,与X轴交于P,与Y轴交于Q,RM垂直X轴于M,若三角形OPQ与三角形PRM的面积比是4:1,则K值是多少

 直线y=kx-2
当x=0时，y=-2
当y=0时，x=2/k
∴点P坐标为(2/k，0) 点Q坐标为(0，-2)
联立y=kx-2与y=k/x
kx-2=k/x
kx²-2x-k=0
△=(-2)²-4k(-k)=4+4k²
x=(2±√△)/2k=[2±2√(k²+1)]/2k=[1±√(k²+1)]/k
∵点R在第一象限内
∴R的横坐标为x=[1+√(k²+1)]/k
R的纵坐标为k/x=k²/[1+√(k²+1)]
即点R的坐标为（[1+√(k²+1)]/k，k²/[1+√(k²+1)]）
则点M的坐标为（[1+√(k²+1)]/k，0）
S△OPQ=|OP|·|OQ|·1/2
=(2/k)·2·1/2
=2/k
S△PRM=|PM|·|RM|·1/2
={[1+√(k²+1)]/k-2/k}·k²/[1+√(k²+1)]·1/2
=k[√(k²+1)-1]/[2+2√(k²+1)]
∵三角形OPQ与三角形PRM的面积相等
∴k[√(k²+1)-1]/[2+2√(k²+1)]=2/k
k²[√(k²+1)-1]=4+4√(k²+1)
(k²-4)√(k²+1)=k²+4
令t=k²>0
(t-4)√(t+1)=t+4
(t-4)²(t+1)=(t+4)²
t³-7t²+8t+16=t²+8t+16
t³=8t²
∵t>0
∴t=8
即k²=8
而k>0
∴k=2√2

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