已知正实数ab满足9a^2+b^2=1求ab/(3a十b)

已知正实数ab满足9a^2+b^2=1求ab/(3a十b)

1＝9a²+b²
→2＝(1²+1²)(9a²+b²)
≥(3a+b)²
→3a+b≤√2.
此时取等条件为：b＝3a.
其次，由均值不等式得
ab＝(1/3)·3a·b
≤(1/3)·[(3a+b)/2]²
＝(3a+b)²/12.
取等条件也是为：b＝3a.
∴ab/(3a+b)
＝[(3a+b)²/12]/(3a+b)
＝(3a+b)/12
≤√2/12.
∴b＝3a且9a²+b²＝1,
即a＝√2/6, b＝√2/2时，
所求最大值为：√2/12。

1. 观察，条件等式中有两个平方，所求式中有ab和(3a+b)，联想到完全平方公式。 2. 通过完全平方公式，易知条件等式可以转化成(3a+b)^2-6ab=1。 3. 易知ab=[(3a+b)^2-1]/6，带入所求式中，可得(3a+b)/6-1/6(3a+b)。 4. 由于a,b为正实数，当(3a+b)最大时即为题所求。 5. 运用换元法，可以将本题转化为x^2+y^2=1，求x+y最大值。 6. 作图法，在选择题时快。在坐标系中画一个单位圆（就是圆心在原点并且半径为1的圆），做一条与圆相切的x+y斜度的直线，易得x+y最大值为根号2。 7. 在要求过程时：xy最大时即为x+y最大（通过变换已知式可以知道），而x^2+y^2>=2xy，即求得最大值。 8. 代入原式，最后不要忘了分母上还有一个6。

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