可不可以总结一下 。
总觉得那块不会 ，也不知道哪不会 。。
求高手 ~
高中复合函数知识点有哪些。。 先高一的吧。
答案:3 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-04-10 22:54
- 提问者网友：那叫心脏的地方装的都是你
- 2021-04-10 15:57
最佳答案
- 五星知识达人网友：woshuo
- 2021-04-10 17:07
定义
设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系，记为 y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，μ为中间变量，y为因变量(即函数)
生成条件
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
编辑本段定义域
若函数y=f(u)的定义域是B﹐u=g(x)的值域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是 复合函数的导数
D={x|x∈A,且g(x)∈B}
周期性
设y=f(u),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）
编辑本段增减性
复合函数单调性
依y=f(u),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减” 判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。 例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。 复合函数的导数
解：函数定义域为R。 令u=x^2-4x+3，y=0.8^u。 指数函数y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数， u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数， ∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。 利用复合函数求参数取值范围 求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须 将已知的所有条件加以转化。
复合函数的相关问题
一、定义
对于函数y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A，如果x∈A时u=g(x)的值域C与函数y=f(u)的定义域B的交集非空，即C∩B≠φ，那么就说y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。
比如， (x∈R)的复合函数是
。
∵u=－x2≤0与u≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u≥0，也不是x∈R，而是x=0。也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）。
由定义知道 就不能复合成f(g(x))。（为什么？）
二、复合函数的定义域
由复合函数的定义知道，复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f制约g(x)的值域，从而制约x的取值范围，法则g制约x的取值范围。因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑。
常见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域，求复合函数的定义域。
例1 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）
解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。
练习：已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。
答案：－1≤x2≤1 x2≤1 －1≤x≤1
下面来思考两个问题：
思考1：已知f(x2)的定义域为[－1，1]，能求f(x)的定义域么？
个人意见：不能。因为x2的定义域虽然为R，但其不单调，由x2求得的值域不一定是f(x)的定义域。
思考2：已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，能求f(x)的定义域么？
个人意见：能。因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1 x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
练习：已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。
（提示：定义域是自变量x的取值范围）
答案：x∈[－1,2) 3x－1∈[－4,5) 2x+1∈[－4,5) x∈[－ ,2).
三、法则——解析式
复合函数y=f(g(x))的法则既不是f,也不是g，法则的运算我们没有学过（法则也可以运算？可以。）那么复合函数y=f(g(x))的法则是什么？从映射的角度很好解释。设y=f(u) u∈B的值域为D，u=g(x) x∈A的值域为C，设B∩C=E（非空），由之确定的函数y=f(g(x))的定义域为F，则有两个映射g：F→E；f：E→D,如图。
这样从集合F到集合D就建立了一个映射。这个映射就是复合函数y=f(g(x))，这里u充当中间变量。自变量x先被法则g作用，变成u，再经过法则f作用，变成y。复合函数y=f(g(x))的法则是g运算后再f运算。由此得到一个副产品：用换元法求值域不会改变函数的值域（为什么？）
例3 已知f(x)=2x－1,g(x)=x2+1,求f(g(x))、g (f (x)) 、f(f (x))、g (g (x))。
解：f(g(x))=2g(x)－1=2(x2+1)－1=2 x2+1;
g (f (x))=f2(x)+1=(2x－1)2+1=4x2－4x+2;
f(f (x))=2f(x)－1=2(2x－1)－1=4x－3;
g (g (x))= g2(x)+1=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.
注：复合后还可以再撮合，如f(g(f(g(x)))) 等等。
与反函数联系，还有一个有趣的地方：f(f－1(x))=x≠x= f－1 (f (x)).
试一下就知道了。
设f(x)= ，其反函数为 ，
∴ ，
。
一个x非负另一个x非正能相等么？原来f－1 (f (x))中的x是f (x)的定义域中的数，f(f－1(x))中的x是f (x)的值域中的数，二者意义不同，当然不等。
与反函数联系还有一些陷阱——小心。
例4 （1）已知f(x)过（2，4），则f－1 (x+4)过点 。
（2）已知f(x)过（2，4），则f (x+4)的反函数过点 。
解：（1）f(x)过（2，4） f－1 (x)过（4，2） f－1 (x+4)过点（0，2）；
（2）f(x)过（2，4） f (x+4)过（－2，4） f (x+4)的反函数过点（4，－2）。
解这类题要注意两点：（1）f－1 是一个整体，是一个法则，不能割裂，认为f－1 (x+4)是f (x+4)的反函数就把f－1割裂开了。
（2）f－1 (x+4)是f－1 (u)，u=x+4复合而成，其反函数为y=f(x)－4；
f (x+4)是f (u)，u=x+4复合而成，其反函数为y=f－1 (x)－4。
练习：1.已知 ，求f(x2),f(f(x)),f－1 (x2).
答案：f(x2)= ；f(f(x))= ；
f－1 (x)= ，于是f－1 (x2)= 。
（注意：f－1 (x)的定义域为（－∞，－2）∪{－1}∪（0，+∞），复合函数f－1 (x2)的定义域为{x|x≠0},另外，分段函数的复合函数一般是分段函数）。
2 已知f (x+4)过（4，2），求f－1 (x+4)过点（ ， ）。
答案：f (x+4)过（4，2） f(x)过点（8，2） f－1(x)过（2，8） f－1 (x+4)过（－2，8）。
四、复合函数的单调性
复合函数的单调性年年讲年年考年年都有学生出错。出错的主要原因集中在两个方面：（1）增减区间弄反（很少）；（2）单调区间不是定义域的子区间（绝大部分）。错因是教师在讲复合函数单调性的时候先总结出“同增异减”的规律，再强调定义域。一方面这个规律“同增异减”好记，另一方面在前面讲单调性时总忘指出在某一区间上单调，造成学生跟着模仿，忽视了区间，更忽视了定义域。因此我们在以后的学习过程中，一定要记住严谨。在解复合函数的单调区间时先求定义域再根据“同增异减”结合定义域求出单调区间。
下面通过例题来说明解题步骤和规律。
例5已知f(x)= ,求f(x)的单调递增区间。
分析：显然f(x)的定义域为R，f(x)是由 及 复合而成。
当x≥1时， ，而 ，
∴ ；
当x≤1时， ，而 ，
∴ 。
因此总结出规律：同增异减。
解：显然f(x)的定义域为R，设u=x2－2x，
∵2u在u∈R上单调递增，
∴欲求f(x)的单调递增区间，只须求u=x2－2x的单调递增区间。
而u=x2－2x在x≥1上单调递增，
∴f(x)的单调递增区间是[1，+∞）。
例6 求g(x)= 的单调递增区间。
解：由2x－x2>0有0<x<2，∴g(x)的定义域为（0,2）。
设u=2x－x2，
∵ 在u>0上是递减函数，∴欲求g(x)的单调递增区间只须求u=2x－x2在u>0时的减区间。
而u=2x－x2在x≥1上单调递减，但u>0时0<x<2，
∴g(x)的单调递增区间为[1，+∞）∩（0，2）=[1，2）。
另外，例5、例6中的个函数单调性一定，画出内函数的图象解题会更方便更直观。如例6，作出u=2x－x2>0的图象，（如图）由图知所求单调递增区间为[1，2）。
由图象就能避开忘求定义域，因为就不画使函数无意义的部分。
练习：1、f(x)的单调递增区间为（1，2]，则f(2－x)的单调递减区间是 ；
2、 的单调递增区间为 。
3、 在[1，+∞）上单调递减，求实数m的取值范围。
答案：1、[0，1） 2、[0，+∞） 3、（－1，+∞）
以上是常遇到的与复合函数有关的三类题型，希望能对同学们的学习有所帮助。特别是后一类的单调区间问题，我们这一届一定不能再出错。
设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系，记为 y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，μ为中间变量，y为因变量(即函数)
生成条件
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
编辑本段定义域
若函数y=f(u)的定义域是B﹐u=g(x)的值域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是 复合函数的导数
D={x|x∈A,且g(x)∈B}
周期性
设y=f(u),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）
编辑本段增减性
复合函数单调性
依y=f(u),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减” 判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。 例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。 复合函数的导数
解：函数定义域为R。 令u=x^2-4x+3，y=0.8^u。 指数函数y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数， u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数， ∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。 利用复合函数求参数取值范围 求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须 将已知的所有条件加以转化。
复合函数的相关问题
一、定义
对于函数y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A，如果x∈A时u=g(x)的值域C与函数y=f(u)的定义域B的交集非空，即C∩B≠φ，那么就说y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。
比如， (x∈R)的复合函数是
。
∵u=－x2≤0与u≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u≥0，也不是x∈R，而是x=0。也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）。
由定义知道 就不能复合成f(g(x))。（为什么？）
二、复合函数的定义域
由复合函数的定义知道，复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f制约g(x)的值域，从而制约x的取值范围，法则g制约x的取值范围。因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑。
常见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域，求复合函数的定义域。
例1 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）
解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。
练习：已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。
答案：－1≤x2≤1 x2≤1 －1≤x≤1
下面来思考两个问题：
思考1：已知f(x2)的定义域为[－1，1]，能求f(x)的定义域么？
个人意见：不能。因为x2的定义域虽然为R，但其不单调，由x2求得的值域不一定是f(x)的定义域。
思考2：已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，能求f(x)的定义域么？
个人意见：能。因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1 x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
练习：已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。
（提示：定义域是自变量x的取值范围）
答案：x∈[－1,2) 3x－1∈[－4,5) 2x+1∈[－4,5) x∈[－ ,2).
三、法则——解析式
复合函数y=f(g(x))的法则既不是f,也不是g，法则的运算我们没有学过（法则也可以运算？可以。）那么复合函数y=f(g(x))的法则是什么？从映射的角度很好解释。设y=f(u) u∈B的值域为D，u=g(x) x∈A的值域为C，设B∩C=E（非空），由之确定的函数y=f(g(x))的定义域为F，则有两个映射g：F→E；f：E→D,如图。
这样从集合F到集合D就建立了一个映射。这个映射就是复合函数y=f(g(x))，这里u充当中间变量。自变量x先被法则g作用，变成u，再经过法则f作用，变成y。复合函数y=f(g(x))的法则是g运算后再f运算。由此得到一个副产品：用换元法求值域不会改变函数的值域（为什么？）
例3 已知f(x)=2x－1,g(x)=x2+1,求f(g(x))、g (f (x)) 、f(f (x))、g (g (x))。
解：f(g(x))=2g(x)－1=2(x2+1)－1=2 x2+1;
g (f (x))=f2(x)+1=(2x－1)2+1=4x2－4x+2;
f(f (x))=2f(x)－1=2(2x－1)－1=4x－3;
g (g (x))= g2(x)+1=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.
注：复合后还可以再撮合，如f(g(f(g(x)))) 等等。
与反函数联系，还有一个有趣的地方：f(f－1(x))=x≠x= f－1 (f (x)).
试一下就知道了。
设f(x)= ，其反函数为 ，
∴ ，
。
一个x非负另一个x非正能相等么？原来f－1 (f (x))中的x是f (x)的定义域中的数，f(f－1(x))中的x是f (x)的值域中的数，二者意义不同，当然不等。
与反函数联系还有一些陷阱——小心。
例4 （1）已知f(x)过（2，4），则f－1 (x+4)过点 。
（2）已知f(x)过（2，4），则f (x+4)的反函数过点 。
解：（1）f(x)过（2，4） f－1 (x)过（4，2） f－1 (x+4)过点（0，2）；
（2）f(x)过（2，4） f (x+4)过（－2，4） f (x+4)的反函数过点（4，－2）。
解这类题要注意两点：（1）f－1 是一个整体，是一个法则，不能割裂，认为f－1 (x+4)是f (x+4)的反函数就把f－1割裂开了。
（2）f－1 (x+4)是f－1 (u)，u=x+4复合而成，其反函数为y=f(x)－4；
f (x+4)是f (u)，u=x+4复合而成，其反函数为y=f－1 (x)－4。
练习：1.已知 ，求f(x2),f(f(x)),f－1 (x2).
答案：f(x2)= ；f(f(x))= ；
f－1 (x)= ，于是f－1 (x2)= 。
（注意：f－1 (x)的定义域为（－∞，－2）∪{－1}∪（0，+∞），复合函数f－1 (x2)的定义域为{x|x≠0},另外，分段函数的复合函数一般是分段函数）。
2 已知f (x+4)过（4，2），求f－1 (x+4)过点（ ， ）。
答案：f (x+4)过（4，2） f(x)过点（8，2） f－1(x)过（2，8） f－1 (x+4)过（－2，8）。
四、复合函数的单调性
复合函数的单调性年年讲年年考年年都有学生出错。出错的主要原因集中在两个方面：（1）增减区间弄反（很少）；（2）单调区间不是定义域的子区间（绝大部分）。错因是教师在讲复合函数单调性的时候先总结出“同增异减”的规律，再强调定义域。一方面这个规律“同增异减”好记，另一方面在前面讲单调性时总忘指出在某一区间上单调，造成学生跟着模仿，忽视了区间，更忽视了定义域。因此我们在以后的学习过程中，一定要记住严谨。在解复合函数的单调区间时先求定义域再根据“同增异减”结合定义域求出单调区间。
下面通过例题来说明解题步骤和规律。
例5已知f(x)= ,求f(x)的单调递增区间。
分析：显然f(x)的定义域为R，f(x)是由 及 复合而成。
当x≥1时， ，而 ，
∴ ；
当x≤1时， ，而 ，
∴ 。
因此总结出规律：同增异减。
解：显然f(x)的定义域为R，设u=x2－2x，
∵2u在u∈R上单调递增，
∴欲求f(x)的单调递增区间，只须求u=x2－2x的单调递增区间。
而u=x2－2x在x≥1上单调递增，
∴f(x)的单调递增区间是[1，+∞）。
例6 求g(x)= 的单调递增区间。
解：由2x－x2>0有0<x<2，∴g(x)的定义域为（0,2）。
设u=2x－x2，
∵ 在u>0上是递减函数，∴欲求g(x)的单调递增区间只须求u=2x－x2在u>0时的减区间。
而u=2x－x2在x≥1上单调递减，但u>0时0<x<2，
∴g(x)的单调递增区间为[1，+∞）∩（0，2）=[1，2）。
另外，例5、例6中的个函数单调性一定，画出内函数的图象解题会更方便更直观。如例6，作出u=2x－x2>0的图象，（如图）由图知所求单调递增区间为[1，2）。
由图象就能避开忘求定义域，因为就不画使函数无意义的部分。
练习：1、f(x)的单调递增区间为（1，2]，则f(2－x)的单调递减区间是 ；
2、 的单调递增区间为 。
3、 在[1，+∞）上单调递减，求实数m的取值范围。
答案：1、[0，1） 2、[0，+∞） 3、（－1，+∞）
以上是常遇到的与复合函数有关的三类题型，希望能对同学们的学习有所帮助。特别是后一类的单调区间问题，我们这一届一定不能再出错。
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- 1楼网友：往事埋风中
- 2021-04-10 18:04
希望可以帮到您 定义
设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系，记为 y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，μ为中间变量，y为因变量(即函数)
生成条件
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
编辑本段定义域
若函数y=f(u)的定义域是B﹐u=g(x)的值域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是 复合函数的导数
D={x|x∈A,且g(x)∈B}
周期性
设y=f(u),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）
编辑本段增减性
复合函数单调性
依y=f(u),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减” 判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。 例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。 复合函数的导数
解：函数定义域为R。 令u=x^2-4x+3，y=0.8^u。 指数函数y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数， u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数， ∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。 利用复合函数求参数取值范围 求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须 将已知的所有条件加以转化。
复合函数的相关问题
一、定义
对于函数y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A，如果x∈A时u=g(x)的值域C与函数y=f(u)的定义域B的交集非空，即C∩B≠φ，那么就说y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。
比如， (x∈R)的复合函数是
。
∵u=－x2≤0与u≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u≥0，也不是x∈R，而是x=0。也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）。
由定义知道 就不能复合成f(g(x))。（为什么？）
二、复合函数的定义域
由复合函数的定义知道，复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f制约g(x)的值域，从而制约x的取值范围，法则g制约x的取值范围。因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑。
常见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域，求复合函数的定义域。
例1 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）
解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。
练习：已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。
答案：－1≤x2≤1 x2≤1 －1≤x≤1
下面来思考两个问题：
思考1：已知f(x2)的定义域为[－1，1]，能求f(x)的定义域么？
个人意见：不能。因为x2的定义域虽然为R，但其不单调，由x2求得的值域不一定是f(x)的定义域。
思考2：已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，能求f(x)的定义域么？
个人意见：能。因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1 x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
练习：已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。
（提示：定义域是自变量x的取值范围）
答案：x∈[－1,2) 3x－1∈[－4,5) 2x+1∈[－4,5) x∈[－ ,2).
三、法则——解析式
复合函数y=f(g(x))的法则既不是f,也不是g，法则的运算我们没有学过（法则也可以运算？可以。）那么复合函数y=f(g(x))的法则是什么？从映射的角度很好解释。设y=f(u) u∈B的值域为D，u=g(x) x∈A的值域为C，设B∩C=E（非空），由之确定的函数y=f(g(x))的定义域为F，则有两个映射g：F→E；f：E→D,如图。
这样从集合F到集合D就建立了一个映射。这个映射就是复合函数y=f(g(x))，这里u充当中间变量。自变量x先被法则g作用，变成u，再经过法则f作用，变成y。复合函数y=f(g(x))的法则是g运算后再f运算。由此得到一个副产品：用换元法求值域不会改变函数的值域（为什么？）
例3 已知f(x)=2x－1,g(x)=x2+1,求f(g(x))、g (f (x)) 、f(f (x))、g (g (x))。
解：f(g(x))=2g(x)－1=2(x2+1)－1=2 x2+1;
g (f (x))=f2(x)+1=(2x－1)2+1=4x2－4x+2;
f(f (x))=2f(x)－1=2(2x－1)－1=4x－3;
g (g (x))= g2(x)+1=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.
注：复合后还可以再撮合，如f(g(f(g(x)))) 等等。
与反函数联系，还有一个有趣的地方：f(f－1(x))=x≠x= f－1 (f (x)).
试一下就知道了。
设f(x)= ，其反函数为 ，
∴ ，
。
一个x非负另一个x非正能相等么？原来f－1 (f (x))中的x是f (x)的定义域中的数，f(f－1(x))中的x是f (x)的值域中的数，二者意义不同，当然不等。
与反函数联系还有一些陷阱——小心。
例4 （1）已知f(x)过（2，4），则f－1 (x+4)过点 。
（2）已知f(x)过（2，4），则f (x+4)的反函数过点 。
解：（1）f(x)过（2，4） f－1 (x)过（4，2） f－1 (x+4)过点（0，2）；
（2）f(x)过（2，4） f (x+4)过（－2，4） f (x+4)的反函数过点（4，－2）。
解这类题要注意两点：（1）f－1 是一个整体，是一个法则，不能割裂，认为f－1 (x+4)是f (x+4)的反函数就把f－1割裂开了。
（2）f－1 (x+4)是f－1 (u)，u=x+4复合而成，其反函数为y=f(x)－4；
f (x+4)是f (u)，u=x+4复合而成，其反函数为y=f－1 (x)－4。
练习：1.已知 ，求f(x2),f(f(x)),f－1 (x2).
答案：f(x2)= ；f(f(x))= ；
f－1 (x)= ，于是f－1 (x2)= 。
（注意：f－1 (x)的定义域为（－∞，－2）∪{－1}∪（0，+∞），复合函数f－1 (x2)的定义域为{x|x≠0},另外，分段函数的复合函数一般是分段函数）。
2 已知f (x+4)过（4，2），求f－1 (x+4)过点（ ， ）。
答案：f (x+4)过（4，2） f(x)过点（8，2） f－1(x)过（2，8） f－1 (x+4)过（－2，8）。
四、复合函数的单调性
复合函数的单调性年年讲年年考年年都有学生出错。出错的主要原因集中在两个方面：（1）增减区间弄反（很少）；（2）单调区间不是定义域的子区间（绝大部分）。错因是教师在讲复合函数单调性的时候先总结出“同增异减”的规律，再强调定义域。一方面这个规律“同增异减”好记，另一方面在前面讲单调性时总忘指出在某一区间上单调，造成学生跟着模仿，忽视了区间，更忽视了定义域。因此我们在以后的学习过程中，一定要记住严谨。在解复合函数的单调区间时先求定义域再根据“同增异减”结合定义域求出单调区间。
下面通过例题来说明解题步骤和规律。
例5已知f(x)= ,求f(x)的单调递增区间。
分析：显然f(x)的定义域为R，f(x)是由 及 复合而成。
当x≥1时， ，而 ，
∴ ；
当x≤1时， ，而 ，
∴ 。
因此总结出规律：同增异减。
解：显然f(x)的定义域为R，设u=x2－2x，
∵2u在u∈R上单调递增，
∴欲求f(x)的单调递增区间，只须求u=x2－2x的单调递增区间。
而u=x2－2x在x≥1上单调递增，
∴f(x)的单调递增区间是[1，+∞）。
例6 求g(x)= 的单调递增区间。
解：由2x－x2>0有0<x<2，∴g(x)的定义域为（0,2）。
设u=2x－x2，
∵ 在u>0上是递减函数，∴欲求g(x)的单调递增区间只须求u=2x－x2在u>0时的减区间。
而u=2x－x2在x≥1上单调递减，但u>0时0<x<2，
∴g(x)的单调递增区间为[1，+∞）∩（0，2）=[1，2）。
另外，例5、例6中的个函数单调性一定，画出内函数的图象解题会更方便更直观。如例6，作出u=2x－x2>0的图象，（如图）由图知所求单调递增区间为[1，2）。
由图象就能避开忘求定义域，因为就不画使函数无意义的部分。
练习：1、f(x)的单调递增区间为（1，2]，则f(2－x)的单调递减区间是 ；
2、 的单调递增区间为 。
3、 在[1，+∞）上单调递减，求实数m的取值范围。
答案：1、[0，1） 2、[0，+∞） 3、（－1，+∞）
以上是常遇到的与复合函数有关的三类题型，希望能对同学们的学习有所帮助。特别是后一类的单调区间问题，我们这一届一定不能再出错。
- 2楼网友：一把行者刀
- 2021-04-10 17:53
一、函数的有关概念
1、函数的概念：
设在某变化过程中，有两个变量x、y,如果给定一个x的值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2、平面直角坐标系：
①在同一平面内，两条互相垂直的数轴（原点重合，取向右和向上的方向为正方向）组成了一个平面直角坐标系，水平的数轴叫做横轴或x轴，铅直的数轴 叫做纵轴或y轴。
②在平面直角坐标系中，两条数轴把平面分成了四个部分，为第一、二、三、四象限。
③在平面直角坐标系中，一对有序实数对与坐标平面内的点建立了一种一一对应的关系。
④点a（a，b）在第一象限时：a>0,b>0；在第二象限时：a<0,b>0；
在第三象限时：a<0,b<0；在第四象限时：a>0.b<0.
⑤坐标轴上的点不属于任何象限，在x轴上的点的纵坐标都为0；在y轴上的点的横坐标都为0，原点的坐标为（0，0）。
3、坐标平面内点的对称
点a（a,b）关于x轴的对称点为：a/（a,-b）；
关于y轴的对称点为：a/（-a,b）；
关于原点对称的点为：a/（-a,-b）；
关于一、三象限的角平分线（直线y=x）对称的点为a/（ b,a）；
关于二、四象限的角平分线（直线y=-x）对称的点为a/（ -b,-a）。
4 、平面内任意两点之间的距离：a（x1,y1），b（x2,y2）间的距离为：
5、平面内一条线段的中点坐标：线段ab，{a（x1,y1），b（x2,y2）}的中点坐标为：
6、函数的表示有三种方法：图象法，列表法，公式法（即解析式法）。
用解析式表示函数关系的优点是:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质;
用列表法表示函数关系的优点是:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值;
用图像法表示函数关系的优点是:能直观形象地表示出函数的变化情况.、 二.正比例函数和一次函数
1、正比例函数：y=kx (k≠0)叫做正比例函数，它的图象是过原点的一条直线。｜k｜=tanα, α为直线与x轴的夹角(锐角); ｜k｜越大, α越大.
当k>0时，图象分布在一、三象限，y随x的增大而增大；y随x的减小而减小。且当x>0时,y>0;x=0时,y=0;x<o时,y<0.
当k<0时，图象分布在二、四象限，y随x的增大而减小；y随x的减小而增大。且当x>0时,y<0;x=0时,y=0;x<o时,y>0.
2、一次函数：y=kx+b (k≠0)叫做一次函数，它的图象是平行于y=kx (k≠0)的一条直线。与x轴的交点为(-b／k,0),与y轴的交点为(0,b); ｜k｜=tanα, α为直线与x轴的夹角(锐角); ｜k｜越大, α越大.
当k>0,b>0时，图象分布在一二三象限，y随x的增大而增大；y随x的减小而减小。
当k>0,b<0时，图象分布在一三四象限，y随x的增大而增大；y随x的减小而减小。
且当x>-b／k时,y>0;x=-b／k时,y=0;x<-b／k时,y<0.
当k<0,b>0时，图象分布在一二四象限，y随x的增大而减小；y随x的减小而增大。
当k<0,b<0时，图象分布在二三四象限，y随x的增大而减小；y随x的减小而增大。
且当x>-b／k时,y<0;x=-b／k时,y=0;x<-b／k时,y>0.
3、在y1=k1x+b1;y2=k2x+b2 (k1k2≠0) 中：
当y1‖y2时，k1=k2；当y1⊥y2时，k1k2= -1；当y1与y2不平行时，k1≠k2；
当这两直线不平行时，它们的交点坐标是两解析式联合方程组的解。
｜k｜=tanα,α为直线与x轴的夹角；
｜k｜越大，夹角就越大；｜k｜越小，夹角就越小。
4、一次函数图象的平移：上下平移外加减；左右平移内加减。
y=k(x+0)+ b
内 外
例如：把y=-2x+5的图象向左平移3个单位的直线为：y=-2(x+3)+ 5,即y=-2x-1;
把y=-2x+5的图象向下平移3个单位的直线为：y=-2(x+0)+ 5-3,即y=-2x+2;
把y=-2x+5的图象向右平移3个单位再向上平移4个单位为：y=-2(x-3)+ 5+4；
即y=-2x+15.
5、函数解析式的确定：
正比例函数y=kx (k≠0)中因为有一个常量k，所以确定其解析式只要一个条件即可。
一次函数y=kx+b (k≠0)中因为有两个常量k,b所以确定其解析式要两个条件。
6、一次函数y=kx+b (k≠0)
关于x轴对称的直线为：y'=-kx-b
关于y轴对称的直线为：y'=-kx+b
关于原点对称的直线为：y'=kx-b
三、反比例函数
1、 叫做反比例函数，它的图象是双曲线。
当k>0时,图像分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；y随x的减小而增大。当x>0时,y>0;当x<0时,y<0;(x≠0)
当k<0时,图像分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大；y随x的减小而减小。当x>0时,y<0;当x<0时,y>0;(x≠0)
2、在反比例函数中，因为有一个常量k，所以解析式的确定只随一个条件即可。
四、二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
1、a确定抛物线的开口方向，｜a｜确定抛物线的形状
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
当｜a｜越大时，开口越小；当｜a｜越小时，开口越大。
2、b确定抛物线对称轴的位置
当对称轴在y轴的左侧时，-b/2a <0;此时ab>0，（a,b同号）；
当对称轴在y轴的右侧时，-b/2a >0;此时ab<0，（a,b异号）;
当对称轴是y轴时，-b/2a =0；此时ab=0。（b=0）.
3、c确定抛物线在y轴上的截距
当抛物线与y轴的正半轴相交时，c>0，
当抛物线过原点时，c=0，
当抛物线与y轴的负半轴相交时，c<0，
c叫做抛物线在y轴上的截距（c可以为正数、负数、也可以为0）.我要举报
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