数学：圆与直线的问题

已知直线l经过点P（—4，—3），且被圆（x+1）^2+(y+2)^2=25截得的弦长为8，求直线l的方程。

首先确定点p在这段长度为八的弦上.设直线方程为y-(-3)=k(x+4);整理得:y=kx+4k-3；再算出圆心到弦的距离为3,最后由点到直线的距离列出等式求的k=5/3；最终结果为:y=5x/3 +11/3.

将P(-4,-3)代入圆（x+1)^2+(y+2)^2=25得：

（-4+1)^2+(-3+2)^2=10<25

所以点P在圆内.

设直线L的斜率为K，直线L与圆交于A、B两点

⑴当K不存在时，L的方程为X=-4

将X=-4代入圆的方程解得：Y=2或Y=-6

所以AB=|2|+|-6|=8.符合题意.

⑵当K存在时,设L的方程为Y+3=K(X+4)

即KX-Y+4K-3=0

由勾股定理得知:

圆心到直线的距离为D=3

由弦心距公式得:D=|-k+2+4k-3| / √(k^2+1)

可解得:K=-4/3

所以L的方程为Y+3=-4/3(X+4)

即4X+3Y+25=0

综⑴⑵所述,直线L的方程为 X=-4 或 4X+3Y+25=0

已知直线l经过点P(-4,-3)，且被圆（x+1)^2+(y+2)^2=25截得的弦长为8， 设直线l方程是：y+3=k(x+4),即：kx-y+4k-3=0 圆的半径是：5，半个弦长是：8/2=4，由勾股定理得到，圆心到直线的距离是：3 圆心坐标是：（-1，-2） ∴|-k+2+4k-3|/√(k^2+1)=3 （备注：√表示根号的意思，弦心距公式：|ax+by+c|/√(a^2+1) ） →(3k-1)^2=9(k^2+1) →9k^2-6k+1=9k^2+9 →k= -4/3 即方程是：-4/3x-y-16/3-3=0 化简得：4x+3y+25=0

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