证明：方程2^x-x^2=1有且仅有三个互异的实根

证明：方程2^x-x^2=1有且仅有三个互异的实根

设f(x)=2^x-x^2-1;f‘(x)=ln2*2^x-2x;f''(x)=ln2*ln2*2^x-2;单调,只有一个零点.故f'(x)至多有两个零点.（roll定理,每两个零点间都有一个导数的零点）所以f(x)至多三个零点.（理由同上）当x趋于负无穷时f趋于负无穷.f(0)=0,f(1)=0,f(2)=-1======以下答案可供参考======供参考答案1:令f(x)=2^x-x²-1, 则问题等价于函数f(x)有且仅有三个零点. 显然x=0, x=1是f(x)的两个零点. 此外, f(4)×f(5)=-1×6=-6f'(x)=2^xln2-2xf''(x)=2^x(ln2)²-2令f''(x)=0得它的一个零点x0=log(2)[2/(ln2)²]>2.当x当x>x0时, f''(x)>0, 从而f'(x)在(x0,+∞)内单调增加. f'(x0)=2/(ln2)²×ln2-2log(2)[2/(ln2)²]=2/ln2-2log(2)[2/(ln2)²]=2log(2)e-2log(2)[2/(ln2)²]由于f'(0)=ln2>0, f(4)=16ln2-8>0, 所以f'(x)在(0,x0)与(x0,4)内各有一个零点, 且由f'(x)的单调性可知它只有这两个零点, 设为c, d, 且当xf'(c)=0, 从而f(x)单调增加;当c当x>d时, f'(x)>f'(d)=0, 从而f(x)单调增加.因此, f(x)至多有三个零点, 即方程至多有三个实根.综上, 原方程有三个不同实根.

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