证明：当整数n趋向于正无穷时sin n 的极限不存在

证明：当整数n趋向于正无穷时sin n 的极限不存在

函数值在1~-1内波动
可用反证法：假设极限存在为，又n趋于无穷时，2nπ=2nπ+π/2为无穷
但sin2nπ不等于sin（2nπ+π/2），极限值不唯一，矛盾

(1)、lim(n→∞) 3^n*sin(π/3^n) =lim(n→∞) sin(π/3^n) / (1/3^n) =lim(n→∞) π *sin(π/3^n) / (π/3^n) 当n→∞时，1/ 3^n→0，所以π/3^n→0， 故由重要极限，lim(n→∞) sin(π/3^n) / (π/3^n)=1 所以原极限=π * lim(n→∞) sin(π/3^n) / (π/3^n)=π (2)、lim(x→π/3) (1-2cosx)/sin(x-π/3) 使用洛必达法则，对分子分母同时求导， 原极限=lim(x→π/3) 2sinx / cos(x-π/3) =2sin(π/3) / cos0=√3 /1= √3 (3)、lim(x→0) ln(1+3x)/arcsinx 易知在x→0的时候，ln(1+x)，arcsinx都是x的等价无穷小， 所以ln(1+3x)等价于3x，arcsinx等价于x， 故原极限=lim(x→0) 3x/x= 3

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