已知an中S(n+1)=4an+2(n=1,2.........)a1=1(1)设bn=a(n+1)-2an求证bn是等比数列2)设cn=an/2^n 证cn等差数列

已知an中S(n+1)=4an+2(n=1,2.........)a1=1(1)设bn=a(n+1)-2an求证bn是等比数列2)设cn=an/2^n 证cn等差数列

解：S(n+1)=4an+2   那么S(n)=4a(n-1)+2   S2=4a1+2=a1+a2   a1=1   则a2=5

而S(n+1)-S(n)=a(n+1)=4an+2-(4a(n-1)+2)

所以a(n+1)=4an-4a(n-1)

a(n+1)-2an=2an-4a(n-1)    ...............（1）

即：(a(n+1)-2an)/(an-2a(n-1))=2 

因为bn=a(n+1)-2an  所以b(n-1)=an-2a(n-1)

即bn/b(n-1)=2  b1=a2-2a1=3

故数列bn是等比数列

对于（1）式的两边都乘以1/2^(n+1)

1/2^(n+1)[a(n+1)-2an]=[2an-4a(n-1)] 1/2^(n+1)

化简得

an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n

所以cn=an/2^n 得cn-c(n-1)=c(n+1)-cn

故cn等差数列

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