一个高一数学新手题

已知集合A=｛x丨x=3n+1,n∈Z｝，B=｛x丨x=3n+2,n∈Z｝，M=｛x丨x=6n+3,n∈Z｝，

(1)若m∈M,问是否有a∈A,b∈B,使m=a+b

（2）对于任意a∈A,b∈B,是否一定有a+b=m且m∈M？并证明

（1）令m=6k+3=（3k+1）+（3k+2）（k∈Z），令a=3k+1，b=3k+2，则a∈A,b∈B；所以若m∈M,一定有a∈A,b∈B,使m=a+b

（2）设a=3k+1,b=3j+2,（j,k∈Z）令m=a+b=3(j+k)+3=6*（j+k）/2+3,由于（j+k）/2不一定是整数，所以对于任意a∈A,b∈B,不一定有a+b=m且m∈M

解：（1）若m∈M，则有m=6n+3，n∈Z

    设a∈A,b∈B,使m=a+b，得

    a=3n+1，n∈Z

    b=3n+2，n∈Z

则a+b=3n+1+3n+2=6n+3  n∈Z

因为m=6n+3，n∈Z

所以m=a+b

（2）由（1）可得a+b=3n+1+3n+2=6n+3  n∈Z

所以A+B=｛x丨x=6n+3,n∈Z｝

又因为M=｛x丨x=6n+3,n∈Z｝，

所以A+B的元素和M的元素相同

可得A+B是M的等集

因为a∈A,b∈B，m∈M，所以a+b=m恒成立

（1）肯定存在！~

    因为6n+3=(3n+1)+(3n+2)　　（当ｎ值在ＡＢ集合中一样时）

 （２）不一定！～

　　　如果ｎ在ＡＢ中代表不一样的数！～

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