【简单问题】设X是n维欧式空间，C是X中一个有界严格凸的闭凸集。。

设X是n维欧式空间，C是X中一个有界严格凸的闭凸集
（C严格凸意味着边界不存在直线段，具体说来就是任意x,y属于C，那么对于t属于(0,1),tx+(1-t)y一定是C的内点）
P是到C的投影算子（也就是说任意一点x,P(x)是C中到x最近的点）
问题是，现在取定空间中一点y，那么是否存在一个常数0||P(y)-P(z)||<=a||y-z||

一些可以帮助思考的事实：
1、投影算子P一定是非扩张的，也就是说任意y，z，都有||Ty-Tz||<=||y-z||
2、因为C是给定的，且是有界严格凸的，所以C的边界的曲率应该在一个闭区间的范围内。我感觉这个a的大小应该和曲率的范围有关。

以上问题，如果哪位大神能给予解答，不胜感激！

只要y不属于C，结论是成立的。思路如下：

下面的论断假设C的表面光滑，从而可定义切平面。

任意点z，若z属于C, P(z)=z，此时由凸性（用勾股定理）容易证明d(P(y),z)/d(y,z) < 1。
而C紧，所以f(z)=d(P(y),z)/d(y,z)在C上有最大值 a1，a1<1。

如果 z 不属于C, P(z)和z决定了一条直线L，这条直线在P(z)点和C的边界正交。
如果 y 属于 L，P(z)=P(y)，d(P(z),P(y))=0，是平凡情形。所以下面假设y不在L上。
令z0是L上离y最近的点。

当 z 在 L 上移动时，P(z)=P(z0)不变，所以
d(P(y),P(z))/d(y,z) = d(P(y),P(z0))/d(y,z) <= d(P(y),P(z0))/d(y,z0)
由C严格凸，可以证明 d(P(y),P(z0))/d(y,z0) < 1。

这样任意给定 C 边界上一点 x, 让L是过x且正交于C表面的外法射线，x0是L上离y
最近的点，都有f(x)=d(P(y),x)/d(y,x0)<1，然后同样的因为C边界紧，f(x)有最大值
a2，a2<1。注意到f在P(y)点是没有定义的，可以用极限来定义。当n=3，也就是
说C的边界是个曲面时，且P(y)是C边界的脐点，设C在P(y)处的高斯曲率是k^2
（凸表面有正曲率），
且设d(y,P(y))=d，则由高斯曲率的定义，k^2是对应面积的比的极限，从而长度的
比d(P(y),x)/d(y,x0)=(1/k)/(1/k+d)=1/(1+dk)。
若P(y)不是C边界的脐点，该极限不存在。但是由欧拉定理，设k1,k2是两个主曲率，
则从不同方向取的极限，其值都属于 1/(1+dk1) 和 1/(1+dk2) 之间。所以，总可以
取这两个值之间的大者（仍然小于1），作为f在P(y)点的定义，然后将f在这点附近
磨光，使得它在这点连续，但仍保持<1。这是可以做到的。

取 a=max(a1, a2)，就可以了。

大致是这个样子，当然好多地方需要补充细节。

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这样任意给定 C 边界上一点 x, 让L是过x且正交于C表面的外法射线，x0是L上离y 最近的点，都有f(x)=d(P(y),x)/d(y,x0)<1，然后同样的因为C边界紧，f(x)有最大值 a2，a2<1。注意到f在P(y)点是没有定义的，可以用极限来定义。当n=3，也就是 说C的边界是个曲面时，且P(y)是C边界的脐点，设C在P(y)处的高斯曲率是k^2 （凸表面有正曲率）， 且设d(y,P(y))=d，则由高斯曲率的定义，k^2是对应面积的比的极限，从而长度的 比d(P(y),x)/d(y,x0)=(1/k)/(1/k+d)=1/(1+dk)。 若P(y)不是C边界的脐点，该极限不存在。但是由欧拉定理，设k1,k2是两个主曲率， 则从不同方向取的极限，其值都属于 1/(1+dk1) 和 1/(1+dk2) 之间。所以，总可以 取这两个值之间的大者（仍然小于1），作为f在P(y)点的定义，然后将f在这点附近 磨光，使得它在这点连续，但仍保持<1。这是可以做到的。

不一定，n=2,可以构造严格闭凸集，在边界曲率是无穷大的。考虑用函数e^{-1/x}

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