设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 ( a>0 b>0)的两焦点为F1 ,F2,若在椭圆上存在一点P，使向量PF1xPF2=0,求e的范围

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 ( a>0 b>0)的两焦点为F1 ,F2,若在椭圆上存在一点P，使向量PF1xPF2=0,求e的范围

PF1xPF2=0即是两者垂直，故P在以F1F2为直径，以原点为圆心的圆（记为圆o）上，又P在椭圆上，故椭圆与圆O必有交点。而两者有交点又说明什么呢？就是圆的直径不小于椭圆短轴（小于就没交点），且小于长轴长。圆的直径就是焦距，所以得到：b《c<a,c<a已经确定是成立的，故只讨论b《c，两边平方得b2《c2即a2-c2《c2,a2《2c2,e2》1/2,故e》根号2/2.综上得：根号2/2《e<1

解：∠f1pf2在p处于(0,b)时最大， 假设p处于(0,b)时有pf1⊥pf2，此时2c=√2a 此时椭圆离心率e=√2/2 椭圆越椭，∠f1pf2越大，椭圆上肯定存在一点p，使得pf1⊥pf2 离心率e的取值趋向于1 所以e的取值范围为[√2/2,1)

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